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Plusieurs des formules qui précèdent se simplifient dans le cas où les déplacements $\xi ,\eta ,\zeta ,$ les vitesses $u,v,w$ et la dilatation $\upsilon$ du volume conservent constamment des valeurs très petites. Supposons, en effet, que ces diverses quantités, et par suite leurs dérivées, prises par rapport aux variables $x,y,z,t,$ soient considérées comme infiniment petites du premier ordre. Alors on tirera des formules (11), (18) et (19), en négligeant les infiniment petits du second ordre,

(26)

${\frac {\partial p}{\partial x}}=\rho \left(\mathrm {X} -{\frac {\partial u}{\partial t}}\right),\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}=\rho \left(\mathrm {Y} -{\frac {\partial v}{\partial t}}\right),\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=\rho \left(\mathrm {Z} -{\frac {\partial w}{\partial t}}\right),$

(27)

${\frac {\partial \upsilon }{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}},$

(28)

${\frac {\partial \xi }{\partial t}}=u,\qquad {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=v,\qquad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=w,$

Dans le même cas, les projections algébriques de la vitesse initiale de la molécule qui coïncide au bout du temps $t$ avec le point $(x,y,z)$ différeront très peu des projections algébriques $u_{0},v_{0},w_{0}$ de la vitesse mesurée à l’origine du mouvement au point $(x,y,z),$ c’est-à-dire que la différence sera une quantité infiniment petite d’un ordre supérieur au premier.

§ II. — Sur l’équilibre et le mouvement des liquides
ou fluides incompressibles.

Considérons un liquide ou fluide incompressible, soumis à la force accélératrice $\varphi .$ Si ce liquide est en équilibre, la pression correspondante au point $(x,y,z)$ sera déterminée par la formule (2). Si, au contraire, le liquide est en mouvement, la densité de chaque molécule devant rester invariable, la valeur de $\Delta \rho$ déterminée par l’équation (8) devra s’évanouir, et, par conséquent, on obtiendra la formule

(29)

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+u{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial y}}+w{\frac {\partial \rho }{\partial z}}=0,$

en vertu de laquelle l’équation (15) se trouvera réduite à celle qui