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tités (44) par les différences (45). Par suite, les valeurs générales de $\xi _{0}$ et de $\eta _{0}$ devront satisfaire aux équations

(82)

$\Omega ^{2}{\frac {\partial ^{2}\xi _{0}}{\partial x^{2}}}+\mathrm {X} _{0}={\frac {\partial ^{2}\xi _{0}}{\partial t^{2}}},$

(83)

$\Omega ^{2}{\frac {\partial ^{4}\eta _{0}}{\partial x^{4}}}+{\frac {3}{h^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\eta _{0}}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\eta _{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{3}\xi _{1}}{\partial x\partial t^{2}}}={\frac {3}{h^{2}}}\mathrm {Y} _{0}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Y} _{2}+{\frac {d\mathrm {A} _{1}}{dx}},$

dont la dernière, combinée avec les formules (58), donnera

(84)

$\Omega ^{2}{\frac {h^{2}}{3}}{\frac {\partial ^{4}\eta _{0}}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{2}\left[\eta _{0}-{\frac {h^{2}}{3}}\left(1-{\frac {1}{2\theta }}\right){\frac {\partial ^{2}\eta _{0}}{\partial x^{2}}}\right]}{\partial t^{2}}}=\mathrm {Y} +{\frac {h^{2}}{6}}\left(\mathrm {Y} _{2}+2{\frac {d\mathrm {A} _{1}}{dx}}\right).$

Si l’on fait d’ailleurs, pour abréger,

(85)

$\Omega ^{2}{\frac {h^{2}}{3}}=\Theta ^{2},$

(86)

$\eta _{0}-{\frac {h^{2}}{3}}\left(1-{\frac {1}{2\theta }}\right){\frac {\partial ^{2}\eta _{0}}{\partial x^{2}}}=\mathrm {y} ,$

et si, dans les produits

$\Omega ^{2}{\frac {h^{2}}{3}}{\frac {\partial ^{4}\eta _{0}}{\partial x^{4}}},\qquad {\frac {h^{3}}{3}}\left(1-{\frac {1}{2\theta }}\right){\frac {\partial ^{2}\eta _{0}}{\partial x^{2}}},$

on néglige les termes de l’ordre de $h^{2},$ on tirera de la formule (84)

(87)

$\Theta ^{2}{\frac {\partial ^{4}\mathrm {y} }{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {y} }{\partial t^{2}}}=\mathrm {Y} _{0}+{\frac {h^{2}}{6}}\left(\mathrm {Y} _{2}+2{\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dx}}\right),$

et de la formule (86)

(88)

$\eta _{0}=\mathrm {y} +{\frac {h^{2}}{3}}\left(1-{\frac {1}{2\theta }}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {y} }{\partial x^{2}}}.$

Les équations (82), (87) et (88) permettent de déterminer à une époque quelconque, pendant le mouvement de la lame élastique, les valeurs des inconnues $\xi _{0},\eta _{0}$ dont la seconde représente l’ordonnée de la ligne moyenne. Ajoutons que cette ordonnée, étant très peu différente de la fonction $\mathrm {y} ,$ en vertu de la formule (88), pourra être substi-