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puis on en conclura, en ayant égard aux formules (191) et (209),

(211)

${\begin{cases}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial r}}+{\frac {{\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial s}}-2{\mathcal {F}}{\frac {d\tau }{ds}}}{1-r{\frac {d\tau }{ds}}}}+\rho {\mathcal {S}}=0,\\{\frac {\partial {\mathcal {B}}}{\partial r}}+{\frac {{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial s}}+({\mathcal {A-B}}){\frac {d\tau }{ds}}}{1-r{\frac {d\tau }{ds}}}}+\rho {\mathcal {R}}=0,\end{cases}}$

ou, ce qui revient au même,

(212)

${\begin{cases}{\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial r}}-{\frac {1}{{\mathfrak {r}}r}}{\frac {\partial \left(r^{2}{\mathcal {F}}\right)}{\partial r}}+\rho \left(1-{\frac {r}{\mathfrak {r}}}\right){\mathcal {S}}=0,\\{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\mathcal {B}}}{\partial r}}+{\frac {1}{\mathfrak {r}}}\left[{\mathcal {A}}-{\frac {\partial \left(r{\mathcal {B}}\right)}{\partial r}}\right]+\rho \left(1-{\frac {r}{\mathfrak {r}}}\right){\mathcal {R}}=0.\end{cases}}$

Ces dernières formules peuvent être substituées avec avantage aux équations (177). Ajoutons que des formules (180) et (207) on tirera, pour $r=\pm h,$

(213)

$p_{2}\cos \lambda _{2}=\mathrm {P} \sin \tau ,\qquad p_{2}\cos \mu _{2}=-\mathrm {P} \cos \tau ,$

et que celles-ci, étant combinées avec les équations (205), donneront, comme on devait s’y attendre,

(214)

${\mathcal {F}}=0,\qquad {\mathcal {B}}=-\mathrm {P} .$

Concevons à présent que, dans les équations (212) et (214), on développe les quantités

${\mathcal {A,\quad F,\quad B,\quad S,\quad R}}$

suivant les puissances ascendantes de la variable $r\,;$ et soient, en conséquence,

(215)

${\mathcal {A=A_{0}+A_{1}}}r+{\mathcal {A}}_{2}{\frac {r^{2}}{2}}+\ldots ,$

(216)

${\mathcal {F=F_{0}+F_{1}}}r+{\mathcal {F}}_{2}{\frac {r^{2}}{2}}+{\mathcal {F}}_{3}{\frac {r^{3}}{2.3}}+\ldots ,\quad {\mathcal {B=B_{0}+B_{1}}}r+{\mathcal {B}}_{2}{\frac {r^{2}}{2}}+{\mathcal {B}}_{3}{\frac {r^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

(217)

${\mathcal {S=S_{0}+S_{1}}}r+{\mathcal {S}}_{2}{\frac {r^{2}}{2}}+\ldots ,\qquad \qquad \quad \;\;{\mathcal {R=R_{0}+R_{1}}}r+{\mathcal {R}}_{2}{\frac {r^{2}}{2}}+\ldots ,$