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puis on tirera de ces dernières, combinées avec la formule (11),

${\frac {\xi -x}{\cos \alpha }}={\frac {\eta -y}{\cos \beta }}={\frac {\zeta -z}{\cos \gamma }}={\frac {{\frac {\xi \cos \alpha }{a^{2}}}+{\frac {\eta \cos \beta }{b^{2}}}-{\frac {\cos \gamma }{c}}}{{\frac {\cos ^{2}\alpha }{a^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\beta }{b^{2}}}}}$

$={\frac {{\frac {\xi ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\eta ^{2}}{b^{2}}}-2{\frac {\zeta }{c}}}{{\frac {\xi \cos \alpha }{a^{2}}}+{\frac {\eta \cos \beta }{b^{2}}}-{\frac {\cos \gamma }{c}}}},$

et, par conséquent,

(46)

${\frac {\xi ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\eta ^{2}}{b^{2}}}-2{\frac {\zeta }{c}}={\frac {\left({\frac {\xi \cos \alpha }{a^{2}}}+{\frac {\eta \cos \beta }{b^{2}}}-{\frac {\cos \gamma }{c}}\right)^{2}}{{\frac {\cos ^{2}\alpha }{a^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\beta }{b^{2}}}}}.$

Si, au lieu d’un paraboloïde elliptique, on considérait un paraboloide hyperbolique représenté par la formule

(47)

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2{\frac {z}{c}},$

l’équation de la surface cylindrique circonscrite deviendrait évidemment

(48)

${\frac {\xi ^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\eta ^{2}}{b^{2}}}-2{\frac {\zeta }{c}}={\frac {\left({\frac {\xi \cos \alpha }{a^{2}}}-{\frac {\eta \cos \beta }{b^{2}}}-{\frac {\cos \gamma }{c}}\right)^{2}}{{\frac {\cos ^{2}\alpha }{a^{2}}}-{\frac {\cos ^{2}\beta }{b^{2}}}}}.$

Il est bon d’observer que, dans les formules (46) et (48), les binômes

${\frac {\cos ^{2}\alpha }{a^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\beta }{b^{2}}},\qquad {\frac {\cos ^{2}\alpha }{a^{2}}}-{\frac {\cos ^{2}\beta }{b^{2}}}$

ont pour valeurs numériques les quotients qu’on obtient en divisant l’unité par les carrés des rayons qui forment des angles $\alpha ,\beta$ avec les demi-axes des $x$ et $y$ positives, dans l’ellipse et l’hyperbole représentées par les équations

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\pm 1.$

Supposons enfin que l’on demande la surface cylindrique circonscrite à une surface du second degré représentée par l’équation

(49)

$\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} z^{2}+2\mathrm {D} yz+2\mathrm {E} zx+2\mathrm {F} xy+2\mathrm {G} x+2\mathrm {H} y+2\mathrm {I} z=\mathrm {K} .$