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on tire de ces équations, combinées avec la formule (54),

(56)

${\frac {\xi -x_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {\eta -y_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {\zeta -z_{0}}{z-z_{0}}}={\frac {\mathrm {A} (\xi -x_{0})+\mathrm {B} (\eta -y_{0})+\mathrm {C} (\zeta -z_{0})}{\mathrm {K} -(\mathrm {A} x_{0}+\mathrm {B} y_{0}+\mathrm {C} z_{0})}},$

et, par suite,

(57)

$\left\{{\begin{aligned}x&=x_{0}-(\xi -x_{0}){\frac {\mathrm {A} x_{0}+\mathrm {B} y_{0}+\mathrm {C} z_{0}-\mathrm {K} }{\mathrm {A} (\xi -x_{0})+\mathrm {B} (\eta -y_{0})+\mathrm {C} (\zeta -z_{0})}},\\y&=y_{0}-(\eta -y_{0}){\frac {\mathrm {A} x_{0}+\mathrm {B} y_{0}+\mathrm {C} z_{0}-\mathrm {K} }{\mathrm {A} (\xi -x_{0})+\mathrm {B} (\eta -y_{0})+\mathrm {C} (\zeta -z_{0})}},\\z&=z_{0}-(\zeta -z_{0}){\frac {\mathrm {A} x_{0}+\mathrm {B} y_{0}+\mathrm {C} z_{0}-\mathrm {K} }{\mathrm {A} (\xi -x_{0})+\mathrm {B} (\eta -y_{0})+\mathrm {C} (\zeta -z_{0})}}\,;\end{aligned}}\right.$

puis, en substituant les valeurs précédentes de $x,y,z$ dans la seconde des formules (55), on trouve, pour l’équation de la surface conique,

(58)

$\left\{{\begin{aligned}&x_{0}-(\xi -x_{0}){\frac {\mathrm {A} x_{0}+\mathrm {B} y_{0}+\mathrm {C} z_{0}-\mathrm {K} }{\mathrm {A} (\xi -x_{0})+\mathrm {B} (\eta -y_{0})+\mathrm {C} (\zeta -z_{0})}},\\&y_{0}-(\eta -y_{0}){\frac {\mathrm {A} x_{0}+\ldots }{\mathrm {A} (\xi -x_{0})+\ldots }},\\&z_{0}-(\zeta -z_{0}){\frac {\mathrm {A} x_{0}+\ldots }{\mathrm {A} (\xi -x_{0})+\ldots }}\end{aligned}}\right\}=0.$

Lorsque la directrice est comprise dans le plan des $x,y$ et représentée par les formules (17), les formules (17), l’équation de la surface conique se réduit à

(59)

$\operatorname {F} \left({\frac {x_{0}\zeta -z_{0}\xi }{\zeta -z_{0}}},{\frac {y_{0}\zeta -z_{0}\eta }{\zeta -z_{0}}}\right)=0.$

Concevons, pour fixer les idées, que la directrice soit une ellipse comprise dans le plan des $x,y,$ et représentée par la formule (19). L’équation (59) deviendra

(60)

${\frac {(x_{0}\zeta -z_{0}\xi )^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y_{0}\zeta -z_{0}\eta )^{2}}{b^{2}}}=(\zeta -z_{0})^{2}.$

Supposons maintenant que la surface conique doive être circonscrite à une autre surface représentée par l’équation (4). Comme, en chaque