plus simples qui se posent dans la théorie d’ionisation des gaz, celui du courant à travers le gaz ionisé contenu entre deux plateaux métalliques parallèles, fait intervenir une équation différentielle obtenue par J.-J. Thomson en combinant les lois fondamentales de l’électrostatique avec les lois de mobilité et de recombinaison des ions. La vérification expérimenta e de ces lois exige la traduction de l’équation différentielle en nombres, et cette intégration se trouve être singulièrement difficile même dans le cas le plus simple où l’action ionisante est supposée agir uniformément dans tout le volume du gaz.
L’application à ce cas particulier des méthodes indiquées par Poincaré a permis il y a deux ans à M. Seeliger de trouver les développements en série les plus favorables et de délimiter leurs domaines de validité. De nombreux résultats d’expérience purent ainsi être utilisés, qui seraient restés perdus faute de l’instrument mathématique permettant à la théorie de s’exprimer en nombres.
J’ai donné l’exemple précédent parce que le service rendu y est immédiat et tout près de l’expérience. Au même point de vue, l’importance d’autres résultats mathématiques comme la possibilité d’intégrer toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques au moyen de fonctions fuchsiennes est telle que ces fonctions ne peuvent manquer de jouer dans les applications à la physique un rôle au moins égal à celui des fonctions elliptiques ou des fonctions thêta.
D’autres découvertes d’Henri Poincaré ont déjà rendu des services précieux dans divers domaines, en particulier celles qu’il a exposées dans son grand mémoire sur les équations de la dynamique et le problème des trois corps, sans compter l’usage qu’il en a fait lui-même en théorie cinétique et sur lequel nous reviendrons plus loin. Elles permettent d’affirmer par exemple que les lignes d’un champ de vecteurs sans divergence ne se ferment qu’exceptionnellement, mais qu’elles repassent, en général, une infinité de fois aussi près qu’on le veut d’un point par lequel elles ont déjà passé, ce qui permet de les considérer comme pratiquement fermées. Elles ont été utilisées encore dans les discussions qu’a soulevées la mécanique statistique pour préciser la signification de certains énoncés comme celui du célèbre théorème H. de Boltzmann, qui tend à établir l’irréversibilité du passage d’un système composé d’un grand nombre de molécules d’une configuration initiale quelconque à la
