au calcul des perturbations des planètes.
« Dans le calcul des perturbations des planètes qui proviennent de leurs actions mutuelles, lorsque l’on néglige les carrés et les produits de leurs masses, les formules connues de la variation des constantes arbitraires réduisent la question au développement d’une certaine fonction en série de sinus et de cosinus des multiples des moyens mouvements de la planète troublée et de la planète perturbatrice. L’un de nous a indiqué pour le calcul numérique des coefficients de cette série, une méthode particulière que M. Hansen de Gotha a suivie dans sa pièce sur les perturbations de Jupiter et de Saturne, couronnée par l’Académie de Berlin. Mais chacun de ces coefficients étant exprimé, dans cette méthode, par une intégrale double, le calcul en est extrêmement pénible, et M. Liouville est parvenu à le simplifier beaucoup en faisant connaître un moyen, qui avait échappé jusqu’ici, de réduire à une intégrale simple la valeur approchée de l’intégrale double. Ce moyen est fondé sur les propriétés des coefficients et des arguments de la série, qui sont exposées dans le livre II de la Mécanique céleste. L’auteur montre qu’on peut faire porter l’intégration sur une partie seulement de l’argument de chaque terme, en négligeant les termes dont les arguments sont des multiples de celui-là ; ce qui conduit à une approximation d’autant plus grande que la différence des multiples des deux moyens mouvements est plus considérable dans l’argument du terme dont il s’agit. La méthode de M. Liouville, telle qu’il l’avait d’abord présentée, n’aurait plus eu aucun avantage dans le cas où cette différence est nulle ; mais, dans un supplément à sa première Note, il fait voir comment cette méthode peut être étendue à ce cas particulier.
» Nous pensons qu’elle sera principalement utile pour le calcul des inégalités à longues périodes ; et, comme application, nous indiquons à l’auteur, ou aux astronomes qui voudront employer son procédé, l’inégalité que M. Airy a signalée dans le mouvement de la Terre, qui provient de l’action de Vénus, dont l’argument est treize fois le moyen mouvement de cette planète moins huit fois celui de la Terre, et dont la période comprend environ 220 années.
