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les valeurs de 2, — sont les racines réelles d’une équation <p(z) = o, que
l’on compose facilement.
Si l’on retranche du nombre A(i) le second membre de l’équation (2) multiplié par l’un des coefficients a, a, , a 2)..., «„, , ou fera disparaître tel terme qu’on voudra. Plus généralement, on peut augmenter ou diminuer à la fois d’un^ même nombre d’unités ces coefficients entiers ; toutes ces transformations ne changeront que l’expression du nombre complexe A. Cette indétermination dans la forme cesse, quand on fait disparaître un des termes, le dernier par exemple ; maison détruit la symétrie. Quand on conserve le nombre complexe sous la forme (1), pour qu’il ne soit pas divisible par un entier, il faut, et il suffit, que les restes de la division de tous les coefficients, par cet entier, ne soient pas égaux.
Si l’on multiplie successivement A par r, r 2, r 3, ..., r"~ en réduisant à chaque fois les puissances de r, on obtient la série de n nombres, A, Ar, Ar 2, ..., Ar"-’, que nous désignerons par A, A’, A", ..., A (" ,). Les ri èmes puissances de tous ces nombres sont égales.
Si l’on substitue successivement à la racine r, dans A ou A(r), les autres racines r 2, r 3, r 4, ..., r"~ en réduisant aussi, à chaque fois, les puissances de r, on obtient une autre série de (« — 1) nombres, A(r), A(r 2), A(r 3), ..., A(r"~ (), que nous désignerons par A, , A a, A, ,..., A„, . Le produit A (A 2 A 3... A„ (est une fonction symétrique des racines de l’équation (2) ; ce produit sera donc une fonction entière, et du degré (n — 1), des coefficients a, a, a 2, ..., a„ (, et, par conséquent, un nombre entier ; nous le désignerons sous le nom de module du nombre A. Ce module est essentiellement de la forme quadratique Y 2 ± nZ 2 : le signe + ayant lieu, si le nombre premier n est de la forme 4* -f- 3, et le signe —, s’il est de la forme 4’ • + 1. Nous appellerons les nombres A, , A 2, ..., A„, , les sous-facteurs du module ; A est un de ces sous-facteurs. Quand le module est un nombre premier, A est un sous-facteur premier. Quand le module est un nombre composé de plusieurs facteurs premiers, A est le produit d’autant de sous-facteurs premiers correspondants, ou bien ce produit multiplié par un nombre complexe dont le module soit l’unité.
La fonction de a, a t, ..., a„ (, qui forme le module, reste la même lorsqu’on augmente ou diminue d’un même nombre, soit ces coefficients eux-mêmes, soit leurs indices, en ayant soin de réduire ceux de ces indices qui surpasseraient «, on ceux qui leur seraient inférieurs ; c’est-à-dire que le module de A n’est pas affecté par toutes les transformations
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