me suis d’abord proposé de trouver l’expression des coordonnées rectangles, , en fonction de paramètres curvilignes . Les formules qui donnent cette expression contiennent des radicaux carrés de plus en plus compliqués. La présence de ces carrés permet de rattacher les différents systèmes orthogonaux aux classes successives de fonctions abéliennes à radicaux carrés.
» Ces formules nouvelles n’auraient qu’un intérêt bien limité, si elles s’appliquaient seulement à des surfaces très-particulières faisant partie de systèmes orthogonaux. Mais on peut transformer homographiquement les surfaces de chaque système. Alors les formules du second système deviennent applicables à toutes les surfaces du troisième degré et à toutes les surfaces du quatrième degré à ligne double. Un fait analogue se présente pour les formules correspondant aux systèmes orthogonaux plus compliqués. De cette manière, nos expressions analytiques prennent leur place dans la théorie générale des surfaces algébriques.
» La méthode dont j’ai essayé de donner une idée au commencement de cette Note conduit d’ailleurs à d’autres conséquences. Grâce à elle, on peut poser d’une manière nouvelle le problème de la recherche de tous les systèmes triples orthogonaux. Comme la solution de ce problème ferait faire un progrès notable à la théorie des équations aux dérivées partielles, je reviendrai sur ce point, dans une autre occasion. »
