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applicables sur la surface (A), qui, elle-même, est applicable sur la surface de révolution qui a pour méridienne la tractrice. Le rayon des cercles est égal à la courbure de (A).

Si l’on considère le Z de l’équation (1) comme le carré du rayon d’une sphère ayant son centre au point $xy$, l’équation (1) exprime que la somme algébrique des aires correspondantes des deux nappes de l’enveloppe de ces sphères est toujours nulle.

Les lignes qui, sur la surface (A), correspondent aux lignes de courbure des surfaces trajectoires des cercles forment un réseau conjugue; dans le cas où les rayons sont constants, ce réseau n’est autre que celui des lignes de courbure de (A).

Comme on ne sait pas généralement intégrer l’équation (1), la recherche des systèmes cycliques paraît très-compliquée, mais on peut l’aborder autrement. J’ai trouvé, en effet, que :

Si des sphères ont leurs cordes de contact normales à des surfaces, les cercles passant par les centres de ces sphères et leurs points de contact avec leurs surfaces enveloppes sont normaux à une infinité de surfaces faisant partie d’un système cyclique.

Mais comme l’on peut ajouter une constante au carré des rayons des sphères enveloppées sans que les cordes de contact changent, il en résulte que l’on a un système cyclique contenant une constante arbitraire. Je citerai encore ce théorème :

Si des surfaces font partie d’un système orthogonal, les cercles osculateurs de leurs trajectoires orthogonales correspondant à tous les points d’une de ces surfaces sont normaux à une famille de surfaces appartenant à un système cyclique.

Il résulte d’une Communication que j’ai faite antérieurement à l’Académie que, pour trouver tous les systèmes cycliques dont une surface (A) fait partie, il faut savoir intégrer sur cette surface l’équation linéaire

${\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{d\rho \ d\rho _{1}}}={\frac {d\mathrm {Z} }{d\rho }}{\frac {1}{\mathrm {H} }}{\frac {d\mathrm {H} }{d\rho _{1}}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{d\rho _{1}}}{\frac {1}{\mathrm {H} _{1}}}{\frac {d\mathrm {H} _{1}}{d\rho }}$,

le $ds^{2}$ rapporté aux lignes de courbure étant de la forme

$ds^{2}=\mathrm {H} ^{2}d\rho ^{2}+\mathrm {H} _{1}^{2}d\rho _{1}^{2}$.

Si les lignes de courbure de (A) sont des cercles géodésiques, cette équation s’intégre immédiatement.

Je signalerai le cas simple où (A) est un plan, cas qui conduit à une transformation générale des surfaces avec correspondance des lignes de