Page:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 092, 1881.djvu/1195

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est autorisée, on peut dire imposée, par la nature de . En effet, pour établir la correspondance , M. Lie part de la représentation des droites , qui rencontrent par les points de l’espace à trois dimensions. Les points d’une droite représentent alors des droites , qui sont sur une sphère, qui engendrent par conséquent une semi-sphère.

constitue donc une correspondance entre droites et semi-sphères. Deux semi-sphères opposées, c’est-à-dire détachées d’une même sphère, correspondent à deux droites qui sont polaires réciproques par rapport à un complexe linéaire . Aux droites de correspondent en particulier les points, c’est-à-dire les semi-sphères infiniment petites qui coïncident avec leurs opposées.

Parmi les droites de , il y en a une () qui joue un rôle particulier ; aux droites qui la rencontrent, correspondent des semi-plans . Si tourne autour d’un point de , les semi-plans correspondants passent par un même point de  ; c’est le point attaché à tous ces semi-plans (n° 2). Aux droites du complexe qui rencontrent la droite correspondent des semi-plans tangents de , lesquels se confondent avec leurs opposés.

Puisque maintenant et font correspondre à chaque droite une semi-sphère, ou vice versa, il résulte que , de même que , fait correspondre à chaque semi-sphère une semi-sphère, tout en échangeant, en général, les points et les semi-plans par des semi-sphères. L’introduction de la considération des semi-sphères dans les correspondances apporte donc ce précieux avantage de restituer le caractère de birationnalité à ces correspondances, et d’ôter ainsi toute ambiguïté au résultat de leur composition mutuelle.

Les transformations linéaires de l’espace des droites sont, d’après M. Klein, les unes homographiques, les autres corrélatives. Parmi ces dernières, on a à remarquer la corrélation focale déterminée par le complexe  ; toute autre peut être composée de et d’une homographie. La correspondance échange chaque semi-sphère en son opposée.

Le rôle des transformations dans la géométrie des semi-sphères est établi par ce fait connu, qu’il n’y a pas d’autre correspondance entre sphères pour lesquelles le contact soit une propriété invariante.

4. Dans le groupe des transformations est contenu, comme on sait, le groupe déterminé par les transformations par rayons vecteurs réciproques. Les transformations de ce sous-groupe correspondent aux transformations qui laissent le complexe invariable.