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ANALYSE mathématique. — Sur la transcendance du nombre e. Note de M. Gordan. (Extrait d’une Lettre adressée à M. Hermite.)
« Permettez que je vous donne une démonstration de la transcendance du nombre e, dans laquelle je me sers seulement de la série qui représente ce nombre. Si vous le désirez, je puis vous envoyer également une" démonstration de la même proposition par rapport au nombres ; mais je ne crois pas en avoir besoin, parce qu’elle ne diffère pas beaucoup de celle que j’ai l’honneur de vous exposer..
Je veux montrer qu’il n’existe aucune équation
(i) C +C, e + C 2 e 2 4-...+ C/ = o)
dans laquelle les coefficients C sont des nombres entiers. D’abord j’étudie les propriétés de la fonction
/ œP ~ l /
?W= (y—^O — oc, i — x, ..., n~œ)P,
dont M. Hurwitz s’est servi.
p y est un nombre premier, qui est plus grand que C et n. Si Ton fait symboliquement
les quantités
ç(A), <p(A-hi), ©(A-+-2), ..., ? (A + n)
y sont des nombres entiers ; <p (h) n’est pas divisible par/ ? ; <p(A -+- j), ..., ®(h -+- n) le sont.
Si x<n etp croît au-dessus de toute limite, cp(x) décroît et devient moindre qu’aucun nombre donné s.
De même toute fonction <|/(a ?.) f dont les coefficients sont plus petits que les coefficients de la fonction ç(a ?), devient moindre que s
(2) 40)<O-
La fonction e x est définie par la série
fi, =I + a, + 7i + n + ’-
