Page:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 149, 1909.djvu/976

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974 ACADÉMIE DES SCIENCES. fffff OÙ

  • « (>*) = « o+ a r x +… + a n x a.

Le théorème général en question est donné par la formule suivante : /q i— F(a, a ?) e r

(3) i ra l^p^ = r(7TT) A p

Z)o « e fe propriétés limites de la suite (i) sont en rapport direct avec la nature de la singularité envisagée. Par exemple, dans le cas d’un point critique algébrico4ogarithmique, nous pouvons déterminer successivement tous les coefficients des polynômes P, —(-) de même que les degrés p, et r t des termes successifs, de sorte que nous pouvons caractériser complètement la singularité en question, au moyen de F ( « , #„), c’est-à-dire, en dernière analyse, à l’aide des coefficients a n de la série de Taylor donnée.

Inversement, si les limites successives (3), pour les différents p et /-existent (en retranchant toujours le terme déjà calculé) il peut arriver qu’après un nombre fini d’opérations on obtienne une limite finie pour F (a, x) — $(a, x), où $ est la somme des termes retranchés. Dans ce cas, pour un nombre fini de passages à la limite on a trouvé la partie principale de la fonction, c’est-à-dire la partie qui devient infinie au point x.

On a ainsi, en particulier, exprimé par les coefficients a n, les conditions nécessaires et suffisantes (en nombre fini) pour qu’en ce la partie principale de la/onction soit algébrico-logarithmique (ou polaire).

Remarquons enfin que, pour une fonction analytique écrite sous la forme (2), donc sans que notre théorème cesse d’être applicable, le pointa^ peut être situé même sur une ligne singulière.

analyse mathématique. — Sur les opérations fonctionnelles linéaires. Note de M. Frédéric Riesz, présentée par M. Emile Picard.

Pour définir ce qu’on entend par opération linéaire, il faut d’abord préciser le champ fonctionnel. Nous considérons la totalité ù des fonctions réelles et continues entre deux nombres fixes, par exemple entre o et 1 5 pour cette classe, nous définissons la fonction limite par l’hypothèse de la convergence uniforme. L’opération fonctionnelle A [/(#)], faisant correspondre à chaque élément de û un nombre réel déterminé, sera dite continue, si /(a ?) étant limite des /, (#), A(/ t) tend vers A(/). Une opération distributive et continue est dite linéaire. On montre aisément qu’une telle ope-