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cercles (F) et congntence K la congruence rectiligne formée par les axes de ces cercles (’).
Les propriétés établies plus liaul montrent déjà l’analogie qui existe entre les systèmes K et les systèmes cycliques, les surfaces (VI) et les surfaces (M’) qu’il convient d’adjoindre à tout système K remplaçant les trajectoires orthogonales des cercles d’un système cyclique. Cette analogie se manifestera encore à maintes reprises dans les développements (jui vont suivre.
Envisageons les normales aux surfaces (M) et les normales aux surfaces (M) aux différents points d’un cercle (T). La normale à une surface (M) et la normale à une surface (M’) se coupent toujours, et, si l’on désigne par I leur point d’intersection, on à MI = MI.
Deux cas peuvent se présenter : i". si une des normales considérées est située dans le plan oj de (F), toutes le sont et l’égalité ci-dessus montre qu’elles sont de plus tangentes à une seule (F’) concentrique à (F) ; ce cercle engendre un système cyclique et les surfaces (M), (M’) sont parallèles aux trajectoires orthogonales des cercles (F’) ; 2° lorsqu’une des normales considérées est extérieure au plan co, toutes le sont ; alors les normales aux surfaces (M) et les normales aux surfaces (^M) engendrent deux demi-quadriques complémentaires ; la quadrigue«)) qui les porte est de révolution autour de l’axe a du cercle (T).
{’) Des syslètnei K particuliers ont été reiiconU-és dans plusieurs recherches de Géométrie infinitésimale. Nous citerons les systèmes engendrés :
1° Par les cercles décrits dans les plans tangents d’une surface à courbure totale constante, des points de contact comme centres avec un ravon constant arbitraire ;
2° Par les cercles que M. Eisenharl a attachés à toute surface ayant même représentation de ses lignes de courbure qu’une surface à courbure constante ;
3° Par les cercles de rayon nul formés par les tangentes isotropes en un point variable d’une surface de M. Guichard (Comptes rendus, t. CXXX, p. iSi)).
On doit à M. Blanchi une remarquable prO|îriété des surfaces isolhermiques :
Si (M|), (Mo) sont deux surfaces isot/iermiques déduites d’une sur/ace isotherniit/ue (Mu) nu moyen de deux transformations D, „, D, „^ de M. Darboux, il existe une quatrième surface isolhermique (M3) qui correspond aux surfaces (M,), (Mj) dans des transformations D, „., D, „ de M. Darboux. Ce théorème peut être complété comme il suit : Soient Mo, M, Mj, M3 des points correspondants des surfaces (Mo), (M,), (M2), (M3). Ces points sont concycliques et leur rapport anharmonique
(MoMjMiMj) est égal à ■ — ’-• On établit aisément ces propriétés en s’appuyant sur les
formules de M. Hianchi et en soumettant la figure à une inversion de pôle Mo’, nous les avons d’abord obtenues par l’applicalion de certaines des formules indiquées dans notre précédente Communication. Le cercle qui renferme les points Mo. Mi, Mj, M3 engendre un système K.
