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SÉANCE DU 19 JUIN 1911

Nous devons admettre qu’à la surface de séparation, c’est-à-dire (en supposant que celle-ci reste sphérique) pour la valeur déterminée $r=a,$ on a

(6)

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{1},\qquad \Theta =\Theta _{1}\ ;$

(7)

$-p+2\mu {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=-p_{1}+2\mu _{1}{\frac {\partial \mathrm {R} _{1}}{\partial r}}\ ;$

(8)

$\mu \left(r{\frac {\partial \Theta }{\partial r}}-\Theta +{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }}\right)=\mu _{1}\left(r{\frac {\partial \Theta _{1}}{\partial r}}-\Theta _{1}+{\frac {\partial \mathrm {R} _{1}}{\partial \theta }}\right),$

relations (6) exprimant qu’il y a adhésion, pendant que (7) et (8) expriment^[1] la transmission de l’effort [radial pour (7), tangentiel pour (8) d’un liquide à l’autre].

On va essayer de satisfaire à ces diverses conditions, en prenant, tant pour $\psi$ que pour $\psi _{1},$ des expressions de la forme (Basset, p. 270),

$\left({\frac {\mathrm {A} }{r}}+\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{2}=\mathrm {D} r^{4}\right)\sin ^{2}\theta .$

Pour les mêmes raisons qu’à l’endroit cité, les deux derniers termes doivent disparaître dans $\psi .$ Au contraire, les deux premiers doivent disparaître dans $\psi _{1},$ afin que la vitesse soit finie au centre. Nous prendrons donc

(I)

$\left\{{\begin{aligned}&\psi =\sin ^{2}\theta \left({\frac {\mathrm {A} }{r}}+\mathrm {B} r\right),\\&\psi =\sin ^{2}\theta \left(\mathrm {C} _{1}r^{2}+\mathrm {D} _{1}r^{4}\right),\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {A} ,$ $\mathrm {C} ,$$\mathrm {C} _{1},$$\mathrm {D} _{1},$ étant des coefficients constants.

Portant dans les équations (6) et (8), celles-ci se réduisent respectivement à

(α)

${\frac {\mathrm {A} }{a}}+\mathrm {B} a=\mathrm {C} _{1}a^{2}+\mathrm {D} _{1}a^{4},$

(β)

${\frac {\mathrm {A} }{a^{2}}}-\mathrm {B} =-2\left(C_{1}a+2D_{1}a^{3}\right),$

(γ)

${\frac {6\mu \mathrm {A} }{a^{3}}}=6\mu _{1}\mathrm {D} _{1}a^{2}.$

Le calcul de la relation (7) exige qu’on fasse, par les formules (4) et (5), celui de $p$ et de $p_{1}\ ;$ ceci donne (puisque $z=r\cos \theta$)

${\begin{aligned}p&=\left(\rho ga+{\frac {2\mu \mathrm {B} }{a^{2}}}\right)\cos \theta +{\text{const.}},\\p_{1}&=\left(\rho _{1}ga+20\mathrm {D} _{1}\mu _{1}a\right)\cos \theta +{\text{const.}}\end{aligned}}$

1. Basset, p. 265, formule (23).