L’étude de ces points à l’infini sera faite sur l’une des deux formes suivantes d’équations :
x = Sa /l t / >,
w 1 û
y — x = t n.
■y
=2. a * f, A>
(2) • { *=1
V ÛB=
J 2
Les équations (i) ou (2) conviennent à la détermination d’une courbe C
possédant à l’infini un point comptant pour p, si l’on a l’un ou l’autre des
systèmes :
p+i+i, , <
n-=.-, a i z=a i =... — a k =o, a k+l y6o, fc^p — i ;
2
2m + 1 = / ? + [ + k, ai= «2=... =«/f=o, à A. +1 ^o, /c^/> — 1.
On peut ainsi fixer le degré et les points à l’infini de V, quand on s’est fixé la nature des points à l’infini de C.
Si l’on considère alors les équations (1), on peut énoncer le résultat général suivant, qui suppose a { différent de zéro. :
La condition nécessaire et suffisante pour que le point à l’infini considéré n’introduise pas dans les intégrales 3 n 3 2, 3 3 de singularités logarithmiques est que l’indicatrice ait en ce point 3 n points confondus, communs avec la courbe d’équation
x 11 — (/ — x)(a’l--a i x -h a^x^+... + Ix"—* 4- lx u - 1)
+ (j — Xylpo+PiX-h... + l (jJL + l) OP*-3 + ^ ^^ ^ X> l -A =0.
Cette courbe dépend de n — 3 paramètres.
Ce résultat se complète par les énoncés spéciaux à n = 1, n = a, remarquables d’ailleurs par leur simplicité : donnons-les sous une forme géométrique :
i° Il faut et il suffit que l’indicatrice ait comme tangente stationnaire une génératrice rectiligne de la sphère,
2 II faut et il suffit que l’indicatrice ait un contact du cinquième ordre avec une certaine parabole sphérique.
