Signalons aussi une.conséquence intéressante des propositions générales : II. n’existe pas de courbe. algébrique du quatrième degré à torsion constante.
GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les réseaux à invariants égaux et à suite de Laplace périodique. Note de M. Tzitzéica.
Les méthodes que j’ai employées dans une dernière Note (Comptes rendus, novembre 1913) pour déduire d’un réseau à suite de Laplace périodique d’autres réseaux jouissant de la même propriété, ne s’appliquent plus aux réseaux à invariants égaux. Elles donnent encore des réseaux à suite périodique, mais ceux-ci ne sont plus nécessairement, comme les réseaux initiaux, à invariants égaux. J’ai été ainsi conduit à chercher une autre méthode, que je vais exposer sommairement dans ce qui suit.
1. Soit (x) un réseau à invariants égaux, identique à son 7t iemc transformé de Laplace (x n). Notons, pour abréger, par [x] la suite de réseaux
(^), («0’(^2)’"" Considéronsmaintenantunréseau ^’)dont laSuite ’-^’ périodique ou non, est circonscrite à la suite [a ?]. On a des méthodes
régulières pour définir tout réseau (£) répondant à cette question. Cela étant, prenons le conjugué harmonique x’ de x par rapport à ^..D’après un théorème bien connu de M. Kœnigs, le point x’ décrit un réseau à invariants égaux, dont la suite [a/] est, comme [x], inscrite dans la suite [^]. Pour que la suite x’ J soit périodique et qu’on ait (x’ n) identique à (a/), il est visiblement nécessaire qu’il en soit de même de [ ! ;] ; mais cette condition nécessaire n’est pas toujours suffisante.
2. Pour distinguer les cas où la condition précédente est ou n’est pas suffisante, je suis obligé d’entrer, très succinctement d’ailleurs, dans quelques détails.
Soit
(il - — —=zhx, x n = mx (m = const.),
le système qui définit le réseau (a*). J ’ ai d’abord démontré que le réseau (£) peut être déterminé par l’expression
