GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les courbes fermées à torsion constante. Note.de M. B. Hostixskv, présentée par M. Emile Picard.
Soit
(0 ^ = «/, i^i + «* 2 x, +... 4- a k, L x rl {k-i, 2, .... n)
at
un système d’équations différentielles linéaires, où les coefficients a kl sont fonctions réelles de la variable indépendante t et d’un paramètre p.. On suppose : i°que ces fonctions sont continues et périodiques avec la période <o par rapport à la variable t ; 2° qu’elles sont développables en séries entières de la variable u. "et convergentes pour toute valeur de u. ; 3° que, pour u. = o, toute solution du système (i) est périodique avec la période w.
Un système fondamental de solutions pour p. = o : (2) ce l = <f il {t), x î = cf à (t)...., x n — a ilt (t) (i= i, 2, ..., n)
étant donné, le déterminant du « ième degré formé au moyen des fonctions (2) n’est pas nul pour chaque / ; attribuons à t une telle valeur J que la valeur correspondante du A du déterminant soit différente de zéro.
Faisons croître le paramètre [/, d’une manière continue à partir de la valeur u. = 0. À chaque solution (2) correspond une nouvelle solution périodique dont les valeurs initiales pour £= t sont fonctions continues de fx (voirPoiNCÀRÉ, Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, n° 36, ou le Traité d’Analyse de M. Picard, 2 e édit., t. III, p. 167). On obtient ainsi n solutions du système (1).
Le déterminant formé au moyen des valeurs initiales pour t = t est lui-même une fonction continue de ix qui se réduit à A, si fx — o ; donc il ne peut être nul, pourvu que la valeur absolue de fx soit assez petite. Dans cette hypothèse, les nouvelles solutions forment encore un système fondamental. Toute solution satisfaisant à (1) sera périodique avec la période ta.
Mais on peut aller plus loin et démontrer que cette propriété subsiste pour [x quelconque.
Une fonction qui satisfait aux équations (1), déterminée par certaines valeurs initiales numériques, s’exprime par une série
(3) ’ œ= 2 b, n {t).[j- m.
