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SÉANCE DU 27 FÉVRIER 1922. 5g3
géométrie. — Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces à torsion. Note de M. E. Cartan, présentée par M. Emile Borel.
Dans une Note récente (<), j’ai indiqué comment, dans un Univers d’Einstein à ds* donné, on pouvait définir géométriquement le tenseur d’énergie attaché à chaque élément de volume de cet Univers ; c’est ce tenseur qui, égalé à zéro, donne les lois de la gravitation dans toute région vide de matière. La définition que j’ai donnée fait intervenir la courbure de l’Univers par une certaine rotation associée à tout contour fermé infiniment petit, et cette rotation était introduite en s’appuyant sur la notion de transport par parallélisme de Levi-Civita.
Cette dernière notion elle-même, bien qu’elle se soit présentée à son auteur par des considérations géométriques, est assez difficile à définir d’une manière précise sans calcul. Or il est possible, me semble-t-il, d’en montrer la signification profonde en généralisant la notion même d’espace ; cela nous conduira en même temps à des images géométriques d’Univers’ matériels plus riches physiquement que notre Univers, au moins tel qu’on le considère d’habitude ; cela nous montrera aussi la vraie raison des lois fondamentales auxquelles obéit le tenseur d’énergie (loi de symétrie, loi de conservation).
Bornons-nous au cas de trois dimensions, la généralisation à quatre dimensions étant facile. Imaginons un espace qui, au voisinage immédiat de chaque point, ait tous les caractères de l’espace euclidien. Les habitants de cet espace sauront, par exemple, repérer les points infiniment voisins d’un point A au moyen d’un trièdre trirectangle ayant ce point A pour origine ; mais nous supposerons en outre qu’ils ont une loi leur permettant de repérer’, par rapport au trièdre d’origine A, tout trièdre de référence ayant son originé A’ voisine de A ; en particulier cela aura un sens pour eux de dire que deux directions issues l’une de A, l’autre de A’, sont parallèles. En définitive, un tel espace sera défini par la loi de repérage mutuel (de nature euclidienne) de deux trièdres d’origines infiniment voisines.
Un espace de la nature précédente n’est pas complètement défini par son ds*. Le ds 2, en effet, ne détermine qu’une partie de l’opération qui permet de passer d’un trièdre d’origine A à un trièdre d’origine infiniment voisine A’, à savoir la translation AA% il s’y ajoute, comme on sait, une (’) Comptes rendus, t. 174, 1922, p. 437.
