il vient
,
et l’équation se trouve ramenée à la forme classique.
L’équation sans second membre est une équation différentielle
à coefficients constants très connue qui caractérise un mouvement
amorti, avec couple proportionnel à l’angle d’écart et tendant à
ramener le système à sa position d’équilibre. Tel est, par exemple,
le mouvement de rotation d’un corps suspendu à un fil qui possède
un certain couple de torsion, et éprouvant de la part du milieu
ambiant une résistance proportionnelle à la vitesse. La forme de
la solution dépend essentiellement de la valeur des constantes
et . Désignons par , cette solution.
Si ,
;
Si ,
;
Si ,
.
Dans tous les cas, et sont deux constantes arbitraires que
l’on détermine par les conditions initiales du problème.
Pour obtenir la solution de l’équation ayant comme second
membre le terme il suffit d’ajouter à la solution de l’équation
sans second membre une solution particulière de l’équation complète.
Une telle solution peut manifestement être obtenue en
posant
,
où et sont deux constantes à déterminer. On trouve
.
La solution complète est, dans tous les cas,
,
et l’on déterminera les constantes et par les conditions ini-