Page:Curie - Traité de radioactivité, 1910, tome 2.djvu/317

Cette droite représente un rayonnement dont l’intensité $\mathrm {J}$ décroît suivant une loi exponentielle simple ; soit $\mathrm {J} _{0}$ l’intensité du rayonnement qu’on obtiendrait par extrapolation de la formule pour $t=0\,;$ on aura

$\mathrm {J} =\mathrm {J} _{0}e^{-\lambda t},$

en posant

$p=\log \mathrm {J} _{0},\qquad q=\lambda \log e.$

Le rayonnement réellement observé ${\mathfrak {I}}$ évolue suivant une loi qui tend asymptotiquement vers la loi d’évolution du rayonnement fictif $\mathrm {J} .$ Formons la différence $\mathrm {J} -{\mathfrak {I}}$ et examinons comment elle varie en fonction du temps. On trouve que cette différence décroît suivant une loi exponentielle simple, de sorte qu’on peut écrire

$\log(\mathrm {J} -{\mathfrak {I}})=p'-q't,$

$\mathrm {J} -{\mathfrak {I}}=(\mathrm {J} _{0}-{\mathfrak {I}}_{0})e^{-\lambda 't},$

les valeurs de ${\mathfrak {J}}_{0}$ et de $\lambda ^{\prime }$ étant définies par les relations

$p'=\log(\mathrm {J} _{0}-{\mathfrak {I}}_{0}),\qquad q'=\lambda '\log e.$

On aura par suite

${\mathfrak {I}}=\mathrm {J} _{0}e^{-\lambda t}-(\mathrm {J} _{0}-{\mathfrak {I}}_{0})e^{-\lambda 't}={\mathfrak {I}}_{0}\left[{\frac {\mathrm {J} _{0}}{{\mathfrak {I}}_{0}}}e^{-\lambda t}-\left({\frac {\mathrm {J} _{0}}{{\mathfrak {I}}_{0}}}-1\right)e^{-\lambda 't}\right],$

ou, en posant ${\frac {\mathrm {J} _{0}}{{\mathfrak {I}}_{0}}}=\mathrm {K} ,$

${\mathfrak {I}}={\mathfrak {I}}_{0}\left[\mathrm {K} e^{-\lambda t}-(\mathrm {K} -1)e^{-\lambda 't}\right].$

Cette formule est celle qui a été indiquée par P. Curie et M. Danne ; ${\mathfrak {I}}_{0}$ n’est pas l’intensité initiale du rayonnement total, mais l’intensité initiale extrapolée d’après la loi numérique qui représente la courbe pour des temps supérieurs à 20 minutes ; la région de la courbe obtenue par extrapolation est représentée sur la figure en traits ponctués. Il résulte du mode de détermination du coefficient K que celui-ci est supérieur à l’unité, puisque $\mathrm {J} _{0}>{\mathfrak {I}}_{0}$. La courbe est donc convenablement représentée par une différence de deux exponentielles.

Les valeurs trouvées pour les coefficients étaient les suivantes :

$\mathrm {K} =4,2,\qquad \lambda =0,000413\ {\tfrac {1}{\mathrm {sec} }},\qquad \lambda '=0,000538\ {\tfrac {1}{\mathrm {sec} }}.$