Les deux sphères toucheront le cône suivant deux cercles parallèles, perpendiculaires tous deux au plan , et dont les traces sur ce plan sont et .
Tout cela posé, menons quelque part une arête du cône ; cette arête touchera les deux sphères en et en sur la circonférence des cercles et , et la distance sera évidemment égale à .
Cette arête coupera aussi le plan de la section en un point , dont la projection est en sur la trace ou le grand axe de la section, et si on mène les droites , , elles seront tangentes l’une à la sphère , l’autre à la sphère ; mais est aussi tangente à la sphère , donc et sont égales, et par la même raison on a aussi . D’où il suit que ou ou est égal à la somme des rayons et menés des points et , au point de la courbe ; mais comme le point est arbitraire et que est constant, on voit que cette propriété a lieu pour tous les points de la section ; ainsi cette courbe est une ellipse dont les foyers sont et .
On démontrerait exactement de la même façon la même chose pour la parabole et l’hyperbole, ainsi nous regarderons notre théorème général comme démontré.
On pourrait facilement prouver en renversant ce raisonnement que par toute section conique dont on connaît un foyer, on pourra toujours faire passer un cône tangent à toute sphère tangente elle-même au plan de la section à son foyer ; soit, par exemple, le grand axe de la courbe donnée, son foyer, un plan perpendiculaire au plan de la courbe ; on
