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l6o ARCHITECTURE HYDRAULIQUE.

Nommons h la longueur A e de la clef, ou la distance du som- met aux naissances; AP, x\ PM, y\ menons les verticales mk, M/* ; on aura mk = Ae -h AP = h x- } kf — tang.f x mk

= £ (h -+- x) y et par conséquent la somme des triangles m kf, Mhg f égale kmkx kf — ^ (h -+- x)*. La surface Mhkm sera, d'après la méthode générale de l'art. (223), égale à(/im-+-4Ae -4-km)jhe= [2 (h-i-x) -4-4^] Tj r = T(3/*-f-«) additionnant les surfaces partielles , on a A — 2 = (/* -+- #)M- T (3/i -+- jc)^, valeur qui, substituée dans l'équation [3] de l'art. (364), donne A £ = tang.a (A + : (3A -+- x)y\, ou j<r =

ti^r-sÂT^ wtt— — 4" ) rn^—T^ax-i- T ndx.

Intégrant cette équation, on a

y> = (J±. — l2 h>) log.(3/*-t-*)-4*'-t-3Âa:-f-B.

Pour déterminer la constante B, il faut remarquer que x et y s'évanouissent en même temps ; ce qui donne

B = — — 12 A') log. (3 A).

Cette valeur substituée change l'équation en

y = - «» A' ) log- (^) -i 3 A*.

Lorsque la longueur de la clef est donnée , et que , de plus , la voûte doit avoir une certaine ouverture 2e, et une certaine montée f, la valeur du profil A est donnée par-là ; car on aura en même temps x =f y = e, d'où résulte une équation qui ne contient que f, e, a, h et A.

Si A étoit donné, ce seroit alors la valeur de h qu'il faudroit tirer de cette équation, ou enfin celle de a, si A et h étoient dé- terminés d'avance.

Remarquons en passant que nous avons obtenu l'équation précédente très aisément, en exprimant l'aire du profil par le moyen de la formule de l'art (223) ; ce qui n'auroit pas été, à beaucoup près, aussi facile en employant des méthodes directes et rigoureuses , et que les résultats numériques des unes et des autres ne donneroient pas des différences assez grandes pour qu'on y ait égard dans la pratique.

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