1q6 ARCHITECTURE HYDRAULIQUE.
question de trouver quelle est la courbe qu'un corps abandonné à la pesanteur sera le moins de temps a parcourir.
Peehmh e de Soit AN la courbe cherchée {figure n5); puisque cette Ji^îto d£ courbe est celle que doit suivre le corps pour que, partant de A avec une vitesse quelconque, et abandonné ensuite à la pesan- teur, il arrive en N dans le moins de temps possible, deux points
par lequel le corps de temps possible, ce seroit un autre arc M n m' qui jouiroit de cette propriété; mais alors la courbe AMw/ra'N ne jouiroit pas de la propriété d'être celle de la plus vite descente, et il faudroit attribuer cette propriété à la ligne AM/tm'Nj ce qui est contre l'état de la question.
Supposons l'arc Mm 1 infiniment petit, la propriété sus énon- cée, qui ne dépend point de sa grandeur, subsistera toujours. Menons les ordonnées PM , pm, p'm', infiniment près ; nom- mons AP, x\ Ap, x'; PM, />^, j'j Mm 9 ds\ mm t ds'-, me- nons Mg et mh parallèles à AP.
Puisque le temps employé à parcourir le petit arc M m m' est un minimum, si on suppose que la direction de ce petit arc varie infiniment peu , le temps ne variera point ; car c est là la propriété des quantités arrivées à leur maximum ou à leur mi- nimum. On peut donc supposer deux petites lignes Mrc, nm' f faisant des angles infiniment petits avec Mm et mm', et, pour mettre le problème en équation , il faudra exprimer rjue l'élé- ment de temps employé à parcourir M mm' est égal à 1 élément de temps employé à parcourir Mn m\ ou que la variation de cet élément, considérée de l'un à l'autre petit arc de courbe , est égale à zéro.
Le temps employé à parcourir Mm ou ds est égal à-£, ou,
comme u = \/(i
x, (65), à et le temps employé à parcourir mm' ou ds ' est égal à ^ fx , ; le temps total employé à parcourir M m m' sera -—^ -t- -^^r . Il s'agit d'ex- primer que cette quantité ne variera pas si le corps, au lieu de Karcourir Mm/rc', parcourt le petit arc infiniment peu différent In m'. Désignons par <T les variations provenantes du changement de l'arc Mmm'en l'arc Mnm'; on voit que ces variations n'af- fectent que les lignes Mm, mm', et pm t qui se changent en
