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est toujours positif, et que les trois angles d'un triangle sphérique surpassent toujours 180°.

Pour démontrer les séries que nous avons substituées aux fonctions de cette forme,

$\tan .x={\frac {m.\sin .y}{1+m.\cos .y}}$

différentions, en supposant $m$ constante,

${\frac {dx}{\cos ^{2}.x}}={\frac {(1+m.\cos .y).m\cos .ydy+m^{2}\sin ^{2}.ydy}{(1+m.\cos .y)^{2}}}$

et

${\frac {dx}{dy}}={\frac {m.\cos .y+m^{2}}{1+2m.\cos .y+m^{2}}}=\alpha m+\beta m^{2}+\gamma m^{3}+\delta m^{4}+$etc.

d'où $o=$

$\alpha m+\beta m^{2}+\gamma m^{3}+\delta m^{4}+$etc.

$-\cos ym+2\alpha .\cos ym^{2}+2\beta .\cos ym^{3}+2\gamma .\cos ym^{4}+$etc.

$-m^{2}+\alpha m^{3}+\beta m^{4}+$etc.

On en conclut

$\alpha =\cos .y$

$\beta =1-2\alpha .\cos .y=1-2\cos ^{2}.y=-\cos .2y$

$\gamma =\alpha -2\beta .\cos .y=-\cos .y+2\cos .2y.\cos .y=\cos .3y$

$\delta =2\gamma .\cos .y-\alpha \beta =-2\cos .3\gamma .\cos .y+\cos .2y=-4y$

et ainsi des autres, parce qu'on a généralement

$2\cos .nA.\cos .A-\cos .(n-1)A=\cos .(n+1)A$