3oG ASTRONOMIE MODERNE.
11 terminé en disant qu’après avoir trouvé parla règle VII, le sinus de i’, on trouvera celui de 2’ par la règle du double; on en déduira ensuite tous les sinus de minute en minute jusqu’à 90% en montant ; mais pour plus de sûreté, il vaudrait mieux descendre des sinus de go° et de 8çf5ç)’ à tous les sinus inférieurs. Il ne s’explique pas davantage ; mais nous avons (VU) 2sin £ (A + B) cos ± (A -— B) = sin A — sin Bj d’où 2sin£fA-f-B) cos £ (A — B) — sin B = sin A, et asin £ (A + B) cos l (A — B) — sin A = sin B. Soit B = (A — 2’); la première de ces deux équations devient asin | (A -j- A — 2’) cos jj (A — A + 2’) — sin (A — 2) = sin A , 2sin (A — 1’) cos i’ — sin (A — 2’) ==• sin A. Eu donnant à A toutes les valeurs depuis 5’ jusqu’à go% nous aurons successivement tous les sinus de minute en minute jusqu’à go"; A — 2’, A — 1’ et A sont en progression arithmétique : les deux premiers donneront toujours le troisième.
Commençons au contraire par faire A et (A — 1’) très grand; la formule
2sin (A — i’) cos 1’ — sin A = sin (A — 2’) , nous donnera sin (A — 2) par sin A, sin (A — 1’), cl la constante cos T; ainsi,
2sin (89°59’) cos 1’ — sin 90 0 = sin 89 0 58’, 2sin (89°58’) cos 1’ — sin 89°5g’ = sin 89=57’, 2sin (89°57’) cos 1’ — sin 89 0 5S’ = sin 89 e 5G’, etc. Au contraire , en remontant des sinus de i’etde 2’ jusqu’à 90°, nous aurons 2sin 1’ cos 1’ — sin o = sin 2’,
2sin 2’ cos i’ — sin 1’ = sin 5’,
2sin 5’ cos 1’ — sin 2’ = sin 4’.
Voilà certes ce qu’il y a de meilleur et peut-être la seule bonne chose qu’il y ait dans le livre; mais pour en sentir l’avantage, il n’était pas inutile de traduire ce précepte en langage moderne. On aura plus généralement 2 sin (A — x) cos x — sin A = sin (A — 2x); en eflel, en développant
2sin A cos* x — 2C0S A sin x cos x — sin A = sin A cos 2x — cos A sin 2x,
