KEPLER. 3 2 5 déduiront avec la plus grande facilité. Quoique ces solutions ne soient pas d’un usage bien général, nous sommes étonnés de ne les trouver dans aucun livre de Trigonométrie; c’est ce qui nous a déterminé à les placer ici. Outre les expressions trigonomélriques fournies par le triangle rec- tangle, et qui sont de beaucoup les plus commodes pour la pratique, nous en donnerons d’autres, qui seront purement géométriques, c’est- à-dire affectées de radicaux, h la manière d’Euclide, et nous en verrons naître les constructions des anciens, et d’autres bien plus complètes et plus faciles. (1) Tous les côtés d’un solide régulier inscrit à la sphère, sont autant de cordes d’arcs de grand cercle; toutes ces cordes sont égales, d’où résulte aussi l’égalité des arcs. (2) Le problème de l’inscription des corps réguliers se réduit donc à diviser la surface d’une sphère en un nombre donné d’espaces égaux, terminés par des arcs égaux. (3) Soit m le nombre de ces espaces , c’est-à-dire le nombre des facettes du solide ; a le nombre des angles et des côtés de chaque facette ; n le nombre des angles sphériques qui ont leur sommet au même point de la surface de la sphère, ou le nombre des angles plans qui composent l’angle solide du polyèdre. (4) On sait que a et m ne peuvent être des nombres moindres que 3; car il faut au moins trois côtés pour clore un espace et trois angles plans pour former un angle solide. (5) La somme des angles sphériques formés autour d’un même point est toujours de 36o°. Soit G = 2A chacun des angles sphériques 2A = G = et A = . (6) Chacune des facettes du polyèdre est plane ; à ce plan on peut toujours circonscrire un petit cercle. Soit P le pôle de ce petit cercle, ou le pôle de ABCDE (fïg. 54). Chacun des angles en P aura pour valeur /5gp° _ _ 36o^
a ) nombre des côtés de la facette’
Dans la figure, a = 5 et — — = 72 0 , parce que la figure est un pen- tagone; nous verrons que a ne peut surpasser cinq; d’où il résultera que toutes les facettes sont ou des triangles, ou des carrés, ou des pen- tagones.
