4O2 ASTRONOMIE MODERNE. trique des anciens, et l’excentricité coupée en deux, qui l’ont conduit à son ellipse ; il conserve l’excentrique pour faciliter le calcul elliptique. La démonstration de z=x--e s’mx est un peu obscure, mais exacte, et ne laisse rien à désirer, si ce n’est une rédaction plus simple. L’autre équation i-j-ecosx est démontrée à la manière dEuclide, page 290, par les carrés et les gnomons, ce qui revient à noire démonstration ac- tuelle r a =(e + cosx) a -}-(i — e 1 ) sin* x = e’--2e cos.r-f-cos a x+sin a ,r — e"sin a jc = i+2ecosx-f-e s cos a x = (i-|-ecos^r) a . Ainsi voilà les deux équations fondamentales du problème ; voilà ce qu’on a donné jusqu’ici de plus simple et de plus généralement utile, et c’est à Kepler qu’on le doit. Il reste à déterminer l’anomalie vraie ; Képler montre qu’on a e-4-cosx cosx-f-e cos u = — r = — ; ! — ; 1 -+- e cos x 1 -f- e cos x on connaîtra donc ANM = anomalie vraie égalée. Voilà tout ce qu’il en dit. Réciproquement, étant donnée l’anomalie vraie, on en conclura x y quoique avec un peu plus de peine ; la chose était pourtant bien égale. L’équation précédente donne cosu -j- e cosu cosx = e -f- cosx , cosu = e -f- cosx — e cosu cosx , cos;* — e = cosx — ecosi^cosx, et cos x = : 1 — e cosu ’ mais Képler ne connaissait pas l’usage des équations; il fait , > cos u — e /e cos x (ecosa:) = - , et cos.r = ^ — - — j. ■ cos u 11 donne encore une autre méthode plus singulière et qui ne mérite pas l’oubli dans lequel elle est tombée. Képler la démontre d’une ma- nière longue et détournée; on peut y arriver directement de plusieurs manières. Soit M le lieu de la planète sur son ellipse, AK l’anomalie excen- trique; menez KN et MN; MNL = u; KMN == <?>; KNL = w + <p. KM. sin M 5sin a îesina;cosu tangKrsM = js^iqTKMc^TM ~~ e + cos x -f- 2sin a ^£5in^rsin« cos u asin’i esin xcos^u
