Page:Delambre - Histoire de l'astronomie moderne, tome 2, 1821.djvu/14

6

ASTRONOMIE MODERNE

que des cordes et des sinus, il n’en pouvait tirer directement que ces trois théorèmes, car les trois autres, qui renferment des tangentes, ne pouvaient se trouver que par des combinaisons de triangles. Il en forme seize, tous rectangles ; il prouve que parmi les seize il y en a six qui sont égaux deux à deux, ce qui réduit à treize le nombre des triangles réellement différens ; parmi les treize il en trouve plusieurs qui du moins sont semblables, il en forme cinq classes différentes ; deux triangles semblables lui fournissent diverses analogies entre les sinus et cosinus des angles et les côtés ; c’est ainsi qu’il trouve toutes les analogies qui sont nécessaires pour la solution du triangle sphérique, dans tous les cas ; mais il ne réduit aucune de ces analogies en théorèmes ; il ne donne que des règles de calcul, qu’il multiplie à satiété parce qu’il ne s’aperçoit pas de leur généralité. Au lieu de le suivre dans ces développemens fastidieux et fatigans, nous pouvons combiner les trois équations que nous venons de trouver.

Nous avons     $\sin B=\textstyle {\frac {\sin DC}{\sin BD}}$, par le premier théorème,

et

$\cos B=\cos DC\sin D,$ par le troisième ;

nous en conclurons

$\tan B=\textstyle {\frac {\sin B}{\cos B}}=\textstyle {\frac {\sin DC}{\sin BD\cos DC\sin D}}=\textstyle {\frac {\tan DC}{\sin BD\sin D}}=\textstyle {\frac {\tan DC}{\sin BC}}$,

ou

$\sin BC\operatorname {tang} B=\operatorname {tang} DC,$

ou

tang côté = tang angle opposé sin autre côté.

C’est le quatrième théorème général ; porté dans le triangle complémentaire BMN, il nous donne

$\sin MN\operatorname {tang} N=\operatorname {tang} BM,\ {\text{ou}}\ \cos D\cot DC=\cot BD,$

ou

$\cos D\operatorname {tang} BD=\operatorname {tang} DC,$

ou

tang base = tang hypoténuse cos angle à la base.

Cinquième théorème général ; il nous donne encore

$\operatorname {tang} MN=\operatorname {tang} B\sin BM,\ {\text{ou}}\ \cot D=\operatorname {tang} B\cos BD,\ {\text{ou}}\ \cos BD=\cot B\cot D,$

cos hypoténuse = cot 1^er angle oblique . cot 2^ème angle oblique.