l’équation peut s’abaisser à un degré qui facilite la solution, et de donner les moyens pratiques pour effectuer l’abaissement quand il est possible : mais ces moyens, fondés sur une analyse difficile, ne sont pas de nature à entrer dans les ouvrages destinés à l’instruction première ; et M. Lagrange avoit témoigné le désir qu’on pût trouver, au moins pour les équations numériques, des procédés assez simples pour entrer dans les livres élémentaires, d’arithmétique, dût-on en supprimer la démonstration, qui seroit renvoyée aux traités d’algèbre. C’est sous ce point de vue que la question a été envisagée par M. Budan, qui est parvenu à réduire la solution à une suite de transformées dont tous les coefficiens s’obtiennent par la simple addition, en s’aidant de la multiplication des racines par un nombre donné, qu’on choisit, pour plus de facilité, parmi les puissances de dix ; en sorte que sa méthode, qui, pour la facilité, ne laisse rien à désirer, est peut-être aussi la moins incomplète qu’il soit possible d’obtenir. C’est du moins le sentiment manifesté par M. Lagrange, qui, plus que personne, a le droit d’avoir un avis sur ce point si difficile et si épineux.
Les difficultés analytiques qui ont tant exercé les géomètres, ne sont pourtant pas encore les seules dont ce problème est comme hérissé de toutes parts.
Quand une équation est d’un degré élevé et que l’on a toutes ses racines réelles, ce n’est pas tout encore que de connoître ces racines ; il reste à faire le choix convenable à la question particulière qui a donné l’équation. Tous les auteurs ont supposé des coefficiens fort simples et en nombres entiers ; ils les ont supposés rigoureusement
