blême composé à plaisir et dont il ne s’est évidemment pas donné la peine de faire les calculs, il aprobablement commis une inadvertance, en substituant ici le 7e polyèdre semi-régulier d'Archimède au 9e qu’il avait pris tout d’abord.
L’énoncé continue à être énigmatique, sans offrir de véritables difficultés mathématiques; est la formule algébrique qui, lorsqu’on donne successivement à x toutes les valeurs entières à partir de l’unité, engendre la suite des nombres dits pentagonaux. Par exemple, en faisant x = 4, on aura le nombre pentagonal 22. Inversement de l’équation : , on tirera 4 comme valeur de la racine x du pentagone 22.
Mettant en évidence le coefficient 1 de x dans la formule précitée, Descartes fait la somme arithmétique des coefficients du numérateur et du dénominateur. Il s’agit de procéder de même pour le nombre figuré qui représente un solide ayant pour faces 20 triangles et 12 pentagones de même coté ou racine x. La figuration de ce nombre peut se faire de différentes façons ; mais en conservant les principes suivis par les anciens pour la figuration des nombres polygones, on trouvera aisément la formule : 8x³ — 10 x² + 3 x. Le côté du polyèdre à inscrire dans la quatrième sphère serait donc 8 + 10 + 3 = 21.
On a ainsi quatre sphères déterminées par les côtés des polyèdres inscrits ; ces quatre sphères doivent maintenant être supposées en contact, chacune avec les trois autres, et il reste à calculer le rayon de la sphère qui les touche toutes les quatre en les enveloppant. Cette dernière question est la seule qui présente une difficulté sérieuse; Descartes, au reste, l’avait déjà envoyée à Mersenne (voir plus haut, p. 139, l. 13).
Descartes a Mersenne.
[Amsterdam, février 1634.]
Texte de Clerselier, tome II, lettre 80, p. 358-359.
Fragment que Clerselier a imprime comme début d’une lettre sans date, mais qui est de 1637; la distinction est faite sur l’exemplaire de l’Institut, par la note : « icy finit la lettre » en marge, p. 35 g, 1. 16. — Dans ce fragment (ou billet), Descartes répète à peu près, au sujet de la condamnation de Galilée, ce qu’il a écrit dans la lettre XLIX, et ignorant que Mersenne ne l’a pas reçue, il s’étonne du silence de son correspondant; « il y a desia plus de deux mois » qu’il
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