vous plaift, auant que de luy enuoyer, pour la bienseance.
Page 256, l. 6. — Il a déjà été fait allusion plus haut par Descartes (p. 194, 1. 6) à cette remarque de Bachet, qui fait partie des commentaires insérés dans son édition de Diophante de 1621 (page 179 de la réédition de 1670) :
« Omnem autem numerum vel quadratum esse, vel ex duobus, aut tribus, aut etiam quatuor quadratis componi satis experiendo de- prehendes. Mihi sanè perfectâ id demonstratione assequi nondum » licuit, quam qui proferet maxim.as ei habebo gratias, praesertim cùm » non soliim in hac quaestione [IV, 3i], sed et in nonnullis quinti libri » hoc supponere videatur Diophantus. Intérim libet id inductione confir- » mare, ostendendo proprium esse numerorum omnium ab i vsque ad » 120, vt constat ex sequenti diagrammate. »
Après avoir donné un tableau des décompositions possibles, en un, deux, trois ou quatre carrés, des nombres jusqu’à 120, Bachet ajoute : « Tu, si vacat, vlterius experiare licebit. Ego sanè de omnibus numeris » vsque ad 325 experimentum sumpsi. »
Page 256, 1. 12. — On appelle, en général, nombre polygone un nombre qui est la somme de n termes d’une progression arithmétique commençant à l’unité et ayant une différence égale a. a — 2, a étant le nombre des angles du polygone et n étant son côté.
L’expression générale de la valeur d’un nombre polygone peut être mise sous la forme : n/2[n (a — 2) — (a — 4]].
En faisant successivement « égal à 3, 4, 5, etc., on a les formules particulières des
Triangles : n(n+1)/2
Carrés : n2
Pentagones : n/2(3n-1)
Hexagones : n(2n-1)
Heptagones : n/2(5n —3),
Octogones : n(3n — 2),
Ennéagones : n/2(7n — 5),
Décagones : n (4n — 3),
et ainsi de suite.
Le théorème mis ici sous le nom de Ste Croix, à savoir que tout nombre entier est décomposable en 1, 2, 3. .. ou au plus a polygones de nombre d’angles a, constitue une très remarquable généralisation de la remarque de Bachet (voir l’éclaircissement qui précède). Mais ce théorème appartient, en réalité, à Fermat, qui, dès septembre ou octobre i636, le proposait à Sainte-Croix [Œuvres de F., t. II, 1894, p. 65), en affirmant posséder la démonstration.
La question n’a pas été résolue avant Cauchy ; mais la voie qu’il a suivie doit différer de celle de Fermat, car autrement ce dernier aurait très probablement donné une autre forme à son énoncé, que voici :
