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��Correspondance .

��Ce que dit Descartes ici ne doit donc pas être entendu comme s'il avait ignoré le sens du terme; il le connaissait au moins depuis i63i, par Mer- senne (voir Tome I, p. 229, 1. 28 et note). Ce qu'il a cherché dans Euclide n'est donc pas une définition qui ne s'y trouve point, mais bien la cons- truction du nombre parfait (Éléments, IX, 36), c'est-à-dire la marche à suivre pour résoudre la question qui lui était proposée.

Page 472, 1. 10. — Pour le problème en question, il faut, à ce qui suit, ajouter ce qu'en dit encore Descartes, en se corrigeant, d'abord à la fin de la lettre CLV ci-après, du 9 février 1639 [Clers., II, 452-453), puis à la fin de la lettre CLX du 3o avril 1639 {Clers., III, 484-487).

Il en est également parlé dans unelenre de Fermât à Mersenne (Œuvres de F., t. II, 1894, p. 216) :

« Pour la question des ellipses, elle se déduira fort aisément de ce que n vous venez de voir, car la question va là à trouver un nombre qui serve » d'hypoténuse à 12 triangles et non plus, de telle qualité que ladite » hypoténuse ait plus grande proportion au plus grand des deux autres » côtés que ledit plus grand au moindre : c'est-à-dire que chacun desdits » triangles soit comme, par exemple, 29, 21, 20. Ce qui est aisé, et ayant » trouvé ledit nombre, son quarré sera le demi-diamètre des ellipses. Il le » faut quarrer, afin que la perpendiculaire sur le foyer soit un nombre » entier. J'en dis assez pour me faire entendre de M, Frenicle. »

Dans ce qui précède, Fermât a, de fait, donné les règles précises pour la construction d'un nombre entier a servant d'hypoténuse à un nombre déterminé quelconque de triangles rectangles, c'est-à-dire tel que la dé- composition (a' =: b* + c*) de son carré en une somme de deux carrés puisse se faire d'un nombre déterminé de façons différentes. C'est égale- ment le problème général auquel Des.artes ramène la question de Fre- nicle, sans s'arrêter au nombre particulier de 1 2 ellipses dont Frenicle de- mandait la construction.

Mais avec la limitation *'<c'<«*, les règles de Fermât ne sont plus applicables, et le problème sur un nombre donné ne peut plus guère être résolu que par des tâtonnements, qu'il est, à la vérité, aisé de faire métho- diquement, mais qui entraînent d'assez longs calculs. En tous cas, la ques- tion n'est plus toujours possible, et Descartes (lettre CLX) a renoncé à l'examiner sous cette forme.

Voici maintenant comment le problème, tel qu'il apparaît dans les lettres de Descartes, se ramène à l'énoncé de Fermât :

Soit, sur la figure p. 473, 2 a le grand axe CD d'une ellipse, 2 b son petit axe FL, 2 cla distance des foyers E, I. On aura IC:=a — c; d'autre part, l'arc passant par K et par les sommets des ordonnées au foyer I, étant décrit de l'autre foyer comme centre, on aura I K = -^ (a — c)^. Pour que cette dernière ligne soit, comme les autres, représentée par un nombre entier, il faut que c' soit divisible par a.

On satisfera à cette condition en posant a = ma', é =: m af, c = m» y,

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