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de M. Planck. Je ne m’arrêterai pas à ces calculs et je passe immédiatement à la question principale, celle de savoir si les discontinuités que je viens d’indiquer doivent nécessairement être admises.

Je vais reproduire le raisonnement de Poincaré, mais je dirai d’abord que dans les formules que nous rencontrerons, $\scriptstyle \alpha$ désigne une variable complexe dont la partie réelle $\scriptstyle \alpha _{r}$ est toujours positive. Dans la représentation graphique on se bornera à la moitié du plan $\scriptstyle \alpha$ caractérisée par $\scriptstyle \alpha _{r}>0$ et dans les intégrations par rapport à $\scriptstyle \alpha$ on suivra une ligne droite $\scriptstyle L$ perpendiculaire à l’axe des $\scriptstyle \alpha$ réels, et prolongée indéfiniment des deux côtés. Les valeurs des intégrales seront indépendantes de la longueur de la distance $\scriptstyle \alpha _{r}$ de cette ligne à l’origine des $\scriptstyle \alpha$.

Poincaré introduit une fonction auxiliaire qu’il définit par l’équation

(11)	$\scriptstyle \Phi (\alpha )=\int _{0}^{\infty }\omega (\eta )e^{-\alpha \eta }d\eta$

et il démontre que la fonction $\scriptstyle \omega$ et la fonction $\scriptstyle \varphi$ qui en dérive peuvent être exprimées à l’aide de $\scriptstyle \Phi$.

On a d’abord, par l’inversion de (11)

(12)	$\scriptstyle \omega (\eta )={\frac {1}{2i\pi }}\int _{(L)}\Phi (\alpha )e^{\alpha \eta }d\alpha .$

Pour obtenir une formule analogue pour $\scriptstyle \varphi (x)$ nous remarquerons que dans l’équation (11) on peut remplacer $\scriptstyle \eta$ par une quelconque des variables $\scriptstyle \eta _{1},\dots ,\eta _{n}$. En multipliant les $\scriptstyle n$ équations qu’on obtient ainsi on trouve

$\scriptstyle \left[\Phi (\alpha )\right]^{n}=\int _{0}^{\infty }\dots \int _{0}^{\infty }\omega \left(\eta _{1}\right)\dots \omega \left(\eta _{n}\right)e^{-\alpha x}d\eta _{1}\dots d\eta _{n},$

ou bien, en vertu de la formule (8)

$\scriptstyle \left[\Phi (\alpha )\right]^{n}=\int _{0}^{\infty }\varphi (x)^{-\alpha x}dx,$

et par inversion

$\scriptstyle \varphi (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{(L)}\left[\Phi (\alpha )\right]^{n}e^{\alpha x}d\alpha .$

Les formules (9) et (10) deviennent maintenant

${\begin{array}{l}\scriptstyle nY={\frac {C}{2i\pi }}\int _{0}^{h}\int _{(L)}x(h-x)^{p-1}[\Phi (\alpha )]^{n}e^{\alpha x}dx\ d\alpha ,\\\\\scriptstyle pX={\frac {C}{2i\pi }}\int _{0}^{h}\int _{(L)}(h-x)^{p}[\Phi (\alpha )]^{n}e^{\alpha x}dx\ d\alpha \end{array}}$