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Si l’on veut se rendre compte de la persistance et de l’équilibre d’un électron en se servant des notions ordinaires de la Mécanique, il ne suffit évidemment pas de considérer les actions électrodynamiques. La particule — que nous considérons ici comme une sphère portant une charge superficielle — exploserait immédiatement à cause des répulsions mutuelles ou, ce qui revient au même, des tensions de Maxwell exercées à sa surface. Il faut donc introduire autre chose encore, et Poincaré distingue ici des « liaisons » et des « forces supplémentaires ». Il suppose d’abord qu’il y ait seulement la liaison représentée par l’équation

$\scriptstyle r=b\theta ^{m},$

$\scriptstyle r$ étant le demi-axe de l’électron, $\scriptstyle r\theta$ son rayon équatorial, $\scriptstyle b$ et $\scriptstyle m$ des grandeurs qui restent constantes quand $\scriptstyle r$ et $\scriptstyle \theta$ (ou l’une de ces grandeurs} varient avec la vitesse de translation $\scriptstyle v$. Cela posé, on connaîtra pour une valeur quelconque de $\scriptstyle v$ les dimensions de l’électron — parce qu’on sait que $\scriptstyle \theta =\left(1-v^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ — et on peut calculer par les formules ordinaires du champ électromagnétique l’énergie, la quantité de mouvement et la fonction de Lagrange. Entre ces grandeurs, considérées comme des fonctions de $\scriptstyle v$, il doit y avoir les relations bien connues. Poincaré démontre qu’elles ne se vérifient que pour $\scriptstyle \ m=-{\frac {2}{3}}$, ce qui nous ramène à la constance du volume, c’est-à-dire à l’hypothèse de M. Bucherer et de M. Langevin. Mais nous savons déjà que ce n’est pas cette hypothèse, mais seulement celle d’un rayon équatorial constant, qui est en accord avec le postulat de relativité. Il faut donc nécessairement avoir recours à des forces supplémentaires.

En supposant qu’elles dépendent d’un potentiel de la forme $\scriptstyle Ar^{\alpha }\theta ^{\beta }$, où $\scriptstyle A$, $\scriptstyle \alpha$ et $\scriptstyle \beta$ sont des constantes, Poincaré trouve que la constance du rayon équatorial exige $\scriptstyle \alpha =3$, $\scriptstyle \beta =2$, c’est-à-dire que le potentiel en question doit être proportionnel au volume. Il en résulte que les forces supplémentaires cherchées sont équivalentes à une pression ou une tension normale exercée sur la surface et dont la grandeur par unité de surface reste constante quelle que soit la vitesse de translation. On voit immédiatement qu’une tension dirigée vers l’intérieur convient seule; on en déterminera la grandeur par la condition que pour un électron qui se trouve en repos et qui a par conséquent la forme d’une sphère, elle doit faire équilibre aux répulsions électrostatiques. Si ensuite la particule est mise en mouvement, la tension de Poincaré, jointe aux actions électro-