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lastre n’a que trois diametres de sa partie basse, & est recouvert d’un chapiteau dorique.

PILAU, s. m. terme de relation ; sorte de préparation de riz, fort en usage chez les Turcs.

Ce peuple sobre, uniforme dans toutes les actions de sa vie, se contente de peu, & ne détruit point sa santé par trop de bonne chere. Le riz est le fondement de toute la cuisine des Turcs ; ils l’apprêtent de trois différentes manieres. Ce qu’ils appellent pilau, est un riz sec, moëlleux, qui se fond dans la bouche, & qui est plus agréable que les poules & les queues de mouton avec quoi il a bouilli. On le laisse cuire à petit feu avec peu de bouillon sans le remuer ni le découvrir, car en le remuant & en l’exposant à l’air, il se mettroit en bouillie.

La seconde maniere d’apprêter le riz s’appelle lappa ; il est cuit & nourri dans le bouillon, à la même consistance que parmi nous, & on le mange avec une cuillier, au lieu que les Turcs font sauter dans leur bouche avec le pouce le pilau par petits pelotons, & que le creux de la main leur tient lieu d’assiette.

La troisieme est le tchorba ; c’est une espece de crême de riz, qu’ils avalent comme un bouillon : il semble que ce soit la préparation du riz dont les anciens nourrissoient les malades ; sume hoc ptisanarium orizæ, dit Horace. (D. J.)

PILCOMAYO, le, ou RIO PILCOMAYO, (Géog. mod.) grande riviere de l’Amérique méridionale. Elle prend sa source dans la province de los Charcas, & se jette dans le Paraguay, vers les 26^d. de latitude méridionale.

PILE, s. f. (Géom. & Phys.) amas de corps placés les uns sur les autres.

Pile, se dit dans l’Artillerie, d’un amas de plusieurs choses mises les unes sur les autres. Ainsi, une pile de boulets, de bombes, &c. sont des boulets ou des bombes arrangées les unes sur les autres.

Les piles de boulets ont ordinairement pour base un triangle équilateral, un quarré, & un rectangle ou quarré long. Il y a des méthodes ou des tables particulieres pour trouver le nombre des boulets que contiennent chacune de ces piles ; on peut voir sur ce sujet les mémoires d’artillerie de S. Remy ; le cours de mathématique de M. Belidor ; la deuxieme édition de notre traité d’artillerie, &c. (Q)

Problème sur les corps sphériques rangés en piles. Trouver le nombre des corps sphériques rangés en piles.

Résolution. Ce problème se distingue en deux différens cas : car ou la pile est quadrangulaire, lorsque sa base ou son premier étage a quatre côtés ; ou triangulaire, lorsqu’elle n’en a que trois. Pour la

pile quadrangulaire

ayant supposé le plus petit nombre de spheres, ou le plus petit côté de la base=a, le plus grand=b ; l’expression ou la formule générale de toutes les spheres contenues dans la pile sera $\scriptstyle {\frac {3a^{2}b-a^{3}+3ab+a}{6}}$

Démonstration

Si l’on fait attention à la maniere dont cette pile est arrangée, on s’appercevra qu’elle est composée d’un certain nombre d’étages quadrangulaires mis les uns sur les autres ; chaque étage des rangs, chaque rang dans le même étage pris du même sens d’un égal nombre de spheres : que les rangs d’un étage supérieur ont une sphere de moins que ceux de l’étage immédiatement plus bas ; ce qui est visible par l’inspection des figures A, B, C, D, E, qui représentent ces étages. Si on les conçoit mis les uns sur les autres, & que chaque sphere supérieure posant sur quatre autres inférieures, chaque rang d’un étage supérieur se trouve entre les deux rangs de l’étage inférieur. Ainsi le premier étage

	$\scriptstyle =ab$	$\scriptstyle =ab$
le second	$\scriptstyle ={\overline {a-1}}\times {\overline {b-1}}$	$\scriptstyle =ab-1\times {\overline {a+b}}+1$
le troisieme	$\scriptstyle ={\overline {a-2}}\times {\overline {b-2}}$	$\scriptstyle =ab-2\times {\overline {a+b}}+4$
le quatrieme	$\scriptstyle ={\overline {a-3}}\times {\overline {b-3}}$	$\scriptstyle =ab-3\times {\overline {a+b}}+9$
le cinquieme	$\scriptstyle ={\overline {a-4}}\times {\overline {b-4}}$	$\scriptstyle =ab-4\times {\overline {a+b}}+16$

Le nombre d’étages est toûjours égal au plus petit nombre $\scriptstyle =a$ ; car si dans cet exemple $\scriptstyle a=5$, on aura $\scriptstyle a-5=0$ : ainsi les étages finissent dans le cinquieme $\scriptstyle {\overline {a-4}}\times {\overline {b-4}}$. Puisque donc chaque étage contient le rectangle (ab), il y aura autant de ces rectangles que d’étages. Par conséquent pour avoir la somme de tous ces rectangles, il faut multiplier (ab) par le plus petit nombre (a) : ainsi dans tous les cas possibles, on aura la somme des premiers termes de tous les étages $\scriptstyle =a^{2}b$.

Les coëfficiens des seconds termes $\scriptstyle -1\times {\overline {a+b}}$, $\scriptstyle -2\times {\overline {a+b}}$, $\scriptstyle -3\times {\overline {a+b}}$, $\scriptstyle -4\times {\overline {a+b}}$ &c. font une progression arithmétique des nombres naturels

1, 2, 3, 4, &c. Le plus petit terme de cette progression est = 1, le plus grand $\scriptstyle =a-1$, puisque dans le premier étage il n’y en a point : ainsi la somme de cette progression ou des coëfficiens des seconds termes est $\scriptstyle ={\frac {a^{2}-a}{2}}$ : changeant les signes, puisque ces coëfficiens sont négatifs, vient pour la somme des $\scriptstyle -{\frac {a^{2}+a}{2}}$ ; laquelle multipliée par ($\scriptstyle a+b$), donne la somme des seconds termes $\scriptstyle ={\frac {-a^{2}+a}{2}}\times {\overline {a+b}}={\frac {-a^{3}-a^{2}b+a^{2}+ab}{2}}$

Les derniers termes 1, 4, 9, 16, &c. sont les quarrés de la progression des nombres naturels 1, 2, 3, 4, &c. dont le premier terme = 1, le dernier $\scriptstyle =a-1$ ; puisque dans le premier étage il n’y en a point : ainsi la somme de ces quarrés (selon ce qu’on enseigne dans l’analyse), est aussi la somme des derniers termes $\scriptstyle ={\frac {2a^{3}-3a^{2}+a}{6}}$.

On a donc trouvé dans tous les cas possibles la

somme des	premiers termes	$\scriptstyle =a^{2}b$
	seconds,	$\scriptstyle ={\frac {-a^{3}-a^{2}b+a^{2}+ab}{2}}$
	troisiemes,	$\scriptstyle ={\frac {2a^{3}-3a^{2}+a}{6}}$.

Lesquelles sommes ajoûtées & réduites au même dénominateur, donnent pour la formule générale de la somme de toutes les spheres contenues dans la pile quadrangulaire $\scriptstyle {\frac {3a^{2}b-a^{3}+3ab+a}{6}}$. Ce qu’il falloit démontrer.

Corollaire. Si a=b, la formule devient $\scriptstyle {\frac {2a^{3}+3a^{2}+a}{6}}$ : alors la pile se présente sous la figure d’une

pyramide quadrangulaire