des nombres naturels ; c’est la progression exemplaire dont toutes les autres ne sont que des copies, ou des multiples déterminés par m. Ce qui n’empêche pas qu’il ne puisse s’y joindre une grandeur accessoire p, commune à tous les termes.
Quel que soit p ; si m ou la différence est positive, la progression est croissante ; & décroissante, si elle est négative : mais de l’une pour la faire devenir l’autre, si cela paroît plus commode, il n’y a qu’à la renverser.
Si p & m ont des signes semblables, le même signe regne dans tout le cours de la progression ; s’ils en ont de contraires, la progression en admet aussi de différens. C’est d’abord celui de p, qu’elle conserve plus ou moins long-tems, selon le rapport de p à m : puis elle prend celui de m, pour ne le plus perdre. Les termes affectés du même signe s’y trouvent donc tous de suite du même côté ; à la différence de la progression géométrique, où les signes, quand elle en admet de différens, sont entremêlés & alternatifs.
Si p est l’origine d’une progression décroissante vers la droite, il peut l’être également d’une progression décroissante vers la gauche, dont la différence sera encore m. Toute progression a donc essentiellement deux branches, l’une croissante, l’autre décroissante, qui s’étendent en sens contraire, & toutes deux se perdent dans l’infini ; ou, si l’on veut, ce n’en est qu’une seule, croissante ou décroissante dans tout son cours, selon le côté duquel on voudra la prendre, mais qui n’a ni commencement ni fin. Ce que nous en pouvons connoître n’est qu’un point pris vers le milieu : c’est la figure du tems comparé à l’éternité.
Venons présentement à ce qui est de détail. En toute progression, on peut distinguer cinq principaux élémens.
| Le premier terme, | p | |
| Le dernier, | d | |
| La différence, | m | |
| Le nombre des termes, | n | |
| La somme de la progression, | s |
Or de ces 5 élémens, 3 pris comme on voudra étant connus, on connoît les deux autres : & comme cinq choses peuvent être combinées dix fois trois à trois, il en résulte autant de cas, pour chacun desquels on trouvera par ordre dans la table suivante la valeur des deux inconnues. La démonstration s’en peut déduire aisément du petit nombre de principes qui viennent d’être établis.
| Connues. | Inconnues. | |||
| 1°. | p | |||
| d | . . . . . | |||
| m | ||||
| 2°. | p | |||
| d | . . . . . | |||
| n | ||||
| 3°. | p | |||
| d | . . . . . | |||
| s | ||||
| 4°. | p | |||
| m | . . . . . | |||
| n | ||||
| 5°. | p | |||
| m | . . . . . | |||
| s | ||||
| 6°. | p | |||
| n | . . . . . | |||
| s | ||||
| 7°. | d | |||
| m | . . . . . | |||
| n | ||||
| 8°. | d | |||
| m | . . . . . | |||
| s | ||||
| 9°. | d | |||
| n | . . . . . | |||
| s | ||||
| 10°. | m | |||
| n | . . . . . | |||
| s | ||||
On ne peut faire de question résoluble par la progression arithmétique, qui ne soit résolue d’avance par quelqu’une de ces formules.
On peut comparer deux progressions, les ajoûter, les soustraire ; & c’est quelquefois un moyen facile de résoudre certaines questions plus compliquées. Au reste il suffit d’exécuter ces opérations sur les premiers termes & sur les différences des progressions proposées ; la nouvelle progression qui en résulte représente la somme ou la différence des deux premieres.
La somme offre peu de choses à considérer ; nous nous bornerons donc à la différence, & nous la supposerons représentée par cette progression P.P + M.P + 2M. &c. que pour cette raison nous nommerons la différentielle.
Telle est sa propriété, que chacun de ses termes exprime le rapport arithmétique des deux termes correspondans dans les deux progressions dont elle est la différentielle, & sa somme prise à quel terme on voudra celui de leurs sommes prises à ce même terme.
Quand on ôte une quantité d’une autre, il est naturel que ce soit la plus petite qu’on ôte de la plus grande ; mais c’est, quand il s’agit de progressions, sur quoi il est aisé de se méprendre : à moins que quelque circonstance particuliere n’oblige d’en user autrement, c’est moins ce qu’elles sont qu’il faut considérer dans cette comparaison, que ce qu’elles peuvent devenir. La plus grande n’est donc pas celle précisément qui présente d’abord les plus grands termes, mais celle en général dont la différence est la plus grande. En effet, quelque avance que puisse avoir l’autre à raison de son premier terme (pourvu qu’il reste fini) ; celle-ci l’atteindra plûtôt ou plus tard, la surpassera ensuite, & toujours de plus en plus.
M sera donc toujours positif ; mais P peut être négatif, & c’est lorsque la plus grande différence se trouve dans l’une des deux progressions primitives jointe au plus petit premier terme.
Toutes les fois que P est négatif, 0 est un terme de la progression, exprimé ou sous-entendu. Il est exprimé si P est multiple de M, comme en cette progression (−4. −2. 0. 2. 4. &c.) Si P n’est pas multiple de M, comme en cette autre (−4. −1. 2. 5. &c.) ; 0 n’est pas un terme prononcé de la progression, mais il est toujours sous-entendu entre les deux termes consécutifs qui ont des signes contraires ; & pour le faire paroître, il n’y auroit qu’à introduire entre chaques deux termes de la progression le nombre convenable de moyens proportionnels, ou, ce qui revient au même, réduire la différence.
Dans l’un & dans l’autre cas, le nombre des termes qui précedent 0 est exprimé par ; avec cette différence que dans le premier est un entier, &
