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leurs p & m. Si n est le quantieme, on aura le terme même, ou $\scriptstyle d=pm^{n-1}$.

D’où l’on tire, suivant le besoin	$\textstyle p={\frac {m^{n-1}}{d}}$.
	$\textstyle m={\sqrt[{n-1}]{\frac {d}{p}}}$.

Dans cette derniere égalité, le second membre est le quotient du plus grand des deux termes comparés divisé par le plus petit, duquel on a extrait la racine désignée par la différence de leurs quantiemes ; & comme p & d sont indéterminés, il résulte qu’on obtiendra toujours m ou l’exposant de la progression, en divisant le plus grand de deux termes quelconques par le plus petit, & tirant du quotient la racine désignée par la différence de leurs quantiemes.

Il suit que qui connoît les deux premiers termes d’une progression, en connoît l’exposant, & dès-là toute la progression. Il n’est pas même nécessaire que les deux termes connus soient les deux premiers ; ils peuvent être quelconques, pourvu qu’on sache leurs quantiemes. Car d’abord on aura l’exposant de la progression par la formule de m, en substituant à (n−1) la différence donnée des quantiemes des deux termes ; ensuite on aura le premier terme par celle de p, en y substituant à d celui qu’on voudra des deux termes donnés, & à n son quantieme. Si 63 & 567 sont les troisieme & cinquieme termes d’une progression, l’exposant de celle-ci est
$\textstyle {\sqrt[{2}]{\frac {567}{63}}}={\sqrt[{5-3}]{9}}=3$ ; & $\scriptstyle {\frac {63}{3^{2}}}={\frac {63}{9}}=7$.

Si l’on compare les deux termes extrêmes, soit avec deux autres quelconques également éloignés de l’un & de l’autre, soit avec celui du milieu quand le nombre total en est impair ; il est clair que les quatre termes comparés dans le premier cas, & les trois dans le second, sont en proportion. D’où il suit (Voyez Proportion) que le produit des extrêmes est égal à celui de tous autres deux termes pris à distance égale de l’un & de l’autre, & de plus au quarré du terme du milieu, quand le nombre des termes est impair.

Il est démontré (Voyez Proportion) qu’en toute proportion & par une suite, en toute progression géométrique, la somme des antécédens est à celle des conséquens comme celui qu’on voudra des antécédens est à son conséquent ; comme le premier terme, par exemple, est au second : mais dans une progression tous les termes sont antécédens hormis le dernier $\scriptstyle (pm^{n-1})$, tous sont conséquens hormis le premier (p) : nommant donc s la somme de tous les termes de la progression, la somme des antécédens peut être représentée par $\scriptstyle (s-pm^{n-1})$, & celle des conséquens par $\scriptstyle (s-p)$ ; on a donc $\scriptstyle s-pm^{n-1}\cdot s-p~::~p\cdot pm~::~1\cdot m$. Donc $\scriptstyle sm-pm^{n}=s-p$ ; ou bien $\scriptstyle sm-s=pm^{n}-p$ ; ou bien encore $\scriptstyle s={\frac {pm^{n}-p}{m-1}}$. Et c’est en effet l’expression générale de la somme de toute progression géométrique : ce qu’on pourroit encore prouver de cette maniere.

Si l’on suppose p = 1, la formule $\scriptstyle \left({\frac {pm^{n}-p}{m-1}}\right)$ se réduit à $\scriptstyle {\frac {m^{n}-1}{m-1}}={\frac {m^{n}-m^{0}}{m-1}}$. Mais il a été démontré (art. Exposant sur la fin) 1°. que $\scriptstyle {\frac {m^{n}-m^{0}}{m-1}}$ donne toûjours un quotient exact ; 2°. que ce quotient est formé de termes qui ont tous le signe +, & qui sont par ordre les puissances successives & décroissantes de m, depuis & y compris m^n-1 jusqu’à m° inclusivement, c’est-à-dire dans un ordre renversé (ce qui ne fait rien à la somme) la progression qui a n pour nombre de ses termes, 1 pour premier terme, & m pour ex-

posant. Sa somme est donc exactement représentée par

$\scriptstyle {\frac {m^{n-1}}{m-1}}$, & par conséquent celle de toute autre progression qui auroit pour premier terme un nombre quelconque p, le sera pareillement par $\scriptstyle {\frac {pm^{n}-p}{m-1}}$.

La supposition qu’on vient de faire de p = 1 rend plus simple l’expression de la progression ; elle devient (1. m. m². m³. &c.) ou (m⁰. m¹. m². m³. &c.) en sorte qu’il n’y entre plus qu’une seule lettre, qui est l’exposant de la progression, à laquelle p, pris pour un nombre different de m, n’est point essentiel… La suite des nombres naturels (0. 1. 2. 3. &c.) se retrouve donc encore ici : mais au lieu qu’ils étoient les coëfficiens de m dans la progression arithmétique, ils sont ici les exposans de ses puissances.

Si m = 1, il n’y a point de progression, mais une suite de termes tous égaux ; car 1 élevé à quelque puissance que ce soit, restant toujours 1, & 1 ne changeant point les grandeurs qu’il multiplie, les termes de la progression prétendue ne seroient tous que le premier répeté.

Si m > 1, la progression est croissante.

Si m < 1, la progression est décroissante ; mais pour la rendre croissante, il n’y a qu’à la renverser.

Quant aux signes qui affectent les termes d’une progression géometrique, voici à quoi tout se réduit.

Quand m est positif, tous les termes ont le même signe, qui est celui de p.

Quand m est négatif, les signes sont alternatifs ; de sorte que le signe de p détermine celui des termes impairs.

On voit que pour avoir la somme d’une progression de cette derniere espece, il la faut concevoir résolue en deux autres, formées, l’une des termes positifs, l’autre des négatifs, & qui aient pour exposant commun non plus simplement m, mais son quarré m². On fera séparément la somme de chacune de ces progressions, & leur différence sera la somme de la progression entiere. Elle aura le signe du dernier terme, si la progression est croissante ; & celui du premier, si elle est décroissante.

Si (m°) est l’origine d’une progression croissante vers la droite, il peut l’être également d’une décroissante vers la gauche, où ses exposans seront négatifs, m^-1. m^-2. &c. Toute progression géométrique comme arithmétique, peut donc se concevoir divisée en deux branches, l’une croissante, l’autre décroissante depuis p, qui s’étendent en sens contraire, & toutes deux se perdent dans l’infini. Ou, si l’on veut, ce n’en sera qu’une seule, croissante, ou décroissante dans tout son cours, selon le côté duquel on voudra la prendre, mais qui n’a ni commencement ni fin.

En toute progression géométrique on peut considérer cinq principaux élémens.

Le premier terme,	p	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\}$
Le dernier,	d
La différence,	m
Le nombre des termes,	n
La somme de la progression,	s

Or de ces cinq elémens, trois pris comme on voudra étant connus, on connoît les deux autres ; ce qui forme dix cas, pour chacun desquels on trouvera par ordre dans la table suivante la valeur des deux inconnues. On y a exprimé n par les logarithmes, parce qu’il est toujours plus commode & quelquefois nécessaire d’y avoir recours.

	Connues.			Inconnues.
1°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	p		$\scriptstyle n={\frac {{\overline {\log d}}-{\overline {\log p}}}{\overline {\log m}}}+1$
		d . . . . .
		m		$\scriptstyle s={\frac {pm^{n}-p}{m-1}}$