Si le premier rang est un, & que les autres augmentent chacun d’une unité, le bataillon formera un triangle qui aura les trois côtés égaux ; c’est-à-dire, qu’il sera équilatéral ; autrement il formera un triangle quelconque.
Problème pour la formation du bataillon triangulaire équilatéral : un nombre d’hommes quelconque, par exemple, 400, étant donné pour en former un bataillon équilatéral, trouver le nombre des rangs dont il sera composé.
Comme dans ce bataillon le premier rang est 1, le second 2, le troisieme 3, &c. il s’ensuit que ce problème se réduit à trouver le nombre des termes d’une progression arithmétique dont le premier terme est 1, la différence aussi 1, & la somme 400. Voyez Progression arithmétique.
Solution. Soit le nombre des termes de la progression représenté par n, le dernier sera aussi n ; car il sera l’unité prise autant de fois qu’il y a de termes.
Cela posé, la somme des extrèmes de la progression sera 1 + n, laquelle multipliée par le nombre des termes n, donnera n + nn, ou nn + n, pour le double de la somme de la progression ; c’est-à-dire, que cette expression nn + n, sera égale à deux fois 400, ou à 800. Or nn est le quarré du nombre des termes de la progression, n en est la racine : donc 800 contient le quarré du nombre des termes de la progression, plus la racine de ce quarré.
Il suit delà que pour avoir la valeur de n, ou le nombre des termes de la progression, il faut extraire la racine quarrée de 800, de maniere qu’il y ait un reste égal à la racine, ou qui la contienne.
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8.
Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. |
8100 | 28. | |||
| 400 | |||||
| 48 | |||||
| Reste | 16. | ||||
| 8100 | 27. | ||||
| 400 | |||||
| 47. | |||||
| Reste | 71. | ||||
Pour le prouver, il faut chercher quelle est la somme de la progression dont le premier terme est 1, le second 2, & le nombre des termes 27.
| Puisque le nombre des termes est 27 ; donc lui ajoûtant le premier 1, la somme des extrèmes sera 1 + 27 = 28, dont la moitié 14 étant multipliée par 27, nombre des termes, donnera 378 pour le nombre des hommes du bataillon proposé. Comme le nombre donné étoit 400, on voit qu’il reste 22 hommes qui ne peuvent entrer dans le bataillon, & qu’on peut employer ailleurs, & en former un peloton séparé. | ||||
| 14. | ||||
| 27. | ||||
| 98. | ||||
| 28. | ||||
| 378. | ||||
Il suit de la résolution du problème précédent, que pour former des bataillons triangulaires équilatéraux, il faut quelque nombre de soldats, que l’on ait pour cet effet, le doubler, & ensuite en extraire la racine quarrée : mais de maniere qu’il y ait un reste égal à la racine, ou qui la contienne, & qu’alors cette racine sera le
seront égaux.
| Si l’on a, par exemple, 785 hommes à disposer ainsi en bataillon triangulaire équilatéral, on commencera par les doubler, ce qui donnera 1570. On extraira la racine quarrée de ce nombre, on la trouvera de 39 avec 49 qui la contient : donc 39 est le nombre des rangs de ce bataillon. | 1570 | 39. | |||
| 9 | |||||
| 670. | |||||
| 69. | |||||
| Reste | 49. | ||||
On déterminera de la même maniere celui de tous les autres de la même espece que l’on pourra proposer.
Remarque. Si on suppose que la différence qui regne dans la progression est 2, c’est-à-dire, que le premier terme étant toûjours 1, le second est 3, le quatrieme est 5, &c. le dernier terme sera (n étant toûjours le nombre des termes) n-1 multiplié par 2, plus 1, ou 2 n - 2 + 1 ; & ajoûtant à ce terme le premier 1, la somme des extremes sera 2 n - 2 + 1 + 1 ; expression qui se réduit à 2 n, dont la moitié étant multipliée par le nombre des termes, donnera le nombre de la progression nn. Ainsi nommant S la somme de la progression, on a nn = S, c’est-à-dire, le quarré du nombre des termes égal à la somme de la progression ; & par conséquent n qui est la racine quarrée de nn, est égal à celle de S ; en sorte que .
D’où il suit que dans une progression arithmétique dont le premier terme est 1, & le second 3, le nombre des termes est égal à la racine quarrée de la somme des termes.
| Ainsi, si l’on donne 400 hommes pour former un bataillon triangulaire, dont le premier rang est 1, & le second 3, ce qui est la seconde espece des bataillons triangulaires, on trouvera le nombre des rangs de ce bataillon, en extrayant la racine quarrée de 400. Or cette racine est 20, donc ce bataillon aura vingt rangs. | ||||||
| 41 | 00 | 20. | ||||
| 4 | ||||||
| 0 | 00. | |||||
Pour le prouver, considérez que ce dernier rang sera 1 + 19 ✕ 2 ou 39, & qu’en y ajoûtant 1, on aura 40 pour la somme des extrèmes, laquelle étant multipliée par 10, moitié du nombre des termes, donnera 400 pour la somme de la progression, c’est-à-dire, le nombre proposé.
| Si l’on a de même 542 pour former un bataillon triangulaire de même espece, on extraira la racine quarrée de ce nombre, laquelle sera trouvée de 23. C’est donc le nombre des termes de cette progression. | 542 | 23. | |||
| 4 | |||||
| 142 | |||||
| 43 | |||||
| Reste | 13 | ||||
| On le prouvera comme dans l’exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 ✕ 22 = 45 : ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des extrèmes, dont la moitié 23 multipliée par le nombre des termes, donnera 529, auquel ajoûtant le reste 13, on aura le nombre proposé 542. | 23 | ||
| 23 | |||
| 69 | |||
| 46 | |||
| 529 | |||
| Reste | 13 | ||
| 542 | |||
