l’extraction de la racine quarrée, & que je n’applique ici qu’à un quarré de deux tranches dont la racine ne contient que des dixaines & des unités ; cette démonstration, dis-je, convient également à un nombre plus grand, dont la racine contiendroit des centaines, des mille, &c. en y appliquant les décompositions & les raisonnemens qu’on a vûs ci-dessus. Il suffit, en Arithmétique, de convaincre & d’éclairer l’esprit sur les propriétés & les rapports des petits nombres que l’on découvre par-là plus facilement, & qui sont absolument les mêmes dans les plus grands nombres, quoique plus difficiles à débrouiller.
D’ailleurs je n’ai prétendu travailler ici que pour les commençans, qui ne trouvent pas toûjours dans les livres ni dans les explications d’un maître de quoi se satisfaire, & je suis persuadé que plusieurs verront avec fruit ce que je viens d’exposer ci-dessus. Si quelques-uns n’en ont pas besoin, je les en félicite, & les en estime davantage.
Le plus grand résidu possible d’une racine quarrée, est toûjours le double de la racine même ; ainsi la racine quarrée de 8 étant 2 pour 4, le plus grand résidu possible de la racine 2 est 4, double de 2.
La racine quarrée de 15 étant 3 pour 9, le plus grand résidu possible de la racine 3 est 6, double de 3.
La racine quarrée de 24 étant 4 pour 16, le plus grand résidu possible de la racine 4 est 8, double de 4, & ainsi de tous les autres cas.
De la racine cubique. On peut dire à-peu-près de la racine cubique ce que nous avons dit de la racine quarrée ; extraire la racine cubique, c’est décomposer un nombre quelconque, de façon que l’on trouve un nombre moindre, lequel étant multiplié d’abord par lui-même, & ensuite par son quarré, ou par le produit de la premiere multiplication, donne exactement le premier nombre proposé, ou du moins en approche le plus qu’il est possible. Ainsi extraire la racine cubique de 15625, c’est trouver par une décomposition méthodique la racine cubique 25, laquelle étant multipliée d’abord par elle-même, produit le quarré 625, & multipliée une seconde fois par son quarré 625, forme le cube 15625.
On a trouvé, en examinant les rapports & la progression des nombres, que cette multiplication double de 25 par 25, & de 25 par son quarré 625, produit premierement le cube des dixaines 2 du nombre proposé 25 ; cube qui fait 8000, parce que le 2 dont il s’agit est 20. Or 20×20 font le quarré 400, 20×400 font le cube 8000.
Secondement, cette cubification produit le triple du quarré des dixaines 2, multiplié par les unités 5, ce qui fait 6000 ; & cela, parce que le 2 dont il s’agit est véritablement 2 dixaines 20. Or en le quarrant, & disant 20×20, on a 400, en triplant ce quarré 400, on a 1200, en multipliant ce produit 1200 par les unités 5, on a 6000.
Troisiemement, cette cubification de 25, & ainsi à proportion de toute autre, produit le triple 60 des dixaines 2 ; triple 60 multiplié par le quarré 25 des unités 5, ce qui fait 1500.
Enfin cette cubification produit le cube 125 des unités 5. Ces quatre produits partiels, savoir :
| 1°. Le cube des dixaines | 8000 | |
| 2°. Le triple du quarré des dixaines 2 multiplié par les unités 5 | 6000 | |
| 3°. Le triple des dixaines 2 multiplié par le quarré 25 des unités 5 | 1500 | |
| 4°. Le cube des unités 5 | 125 | |
| Ces produits forment, dis-je, le cube total | 15625 | |
Au reste la génération de ces divers produits est plus difficile à démontrer dans les deux multiplications que l’on employe pour former un nombre cube, que dans la seule multiplication que l’on employe
On sait par la pratique & par l’examen, que ces divers produits résultent nécessairement de ces deux multiplications par une propriété qui leur est essentielle, & qui suffit, lorsqu’elle est connue, pour convaincre & pour éclairer. Il ne s’agit donc que de savoir procéder à la décomposition d’un nombre quelconque, & d’en tirer ces différens produits d’une maniere facile & abrégée, ce qui a son utilité dans l’occasion.
Par exemple, on dit qu’un bloc de marbre quarré de tous sens a 15625 pouces cubes ; & sur cela on demande quelle est sa longueur, largeur, & profondeur. Je le trouve, en tirant la racine cubique de 15625. Pour cela je partage ce nombre en deux tranches, dont la premiere à gauche n’a que deux chiffres, la seconde en a trois. La premiere tranche à gauche peut avoir trois, ou deux, ou même un seul chiffre ; mais les suivantes doivent toûjours être completes, & toûjours de trois chiffres, ni plus, ni moins : c’est ce que l’on peut vérifier aisément par le produit cubique des nombres 100 & 999 ; produit qui donne d’un côté 1, 000, 000, & de l’autre 997, 002, 999.
| 15 | - | 625 | 
|
2 | |
| 7 | 6 | ||||
Je dis donc, la racine cubique de 15 est 2 pour 8 ; j’écris 2 en forme de quotient, comme l’on voit ci-à-côté ; puis je tire de la premiere tranche 15 le cube de ce 2, en disant 2×2 font 4, 2×4 font 8, c’est-à-dire 8 mille : or 8 mille tirés de 15 mille, reste 7 mille que j’écris au-dessous de 15, comme l’on voit dans l’exemple.
| 15 | - | 625 |
|
2 | |
| 7 | 6 | ||||
| 1 | 2 | ||||
Ensuite, pour trouver le second chiffre de la racine totale, & ainsi du troisieme, quatrieme, &c. en supposant le nombre à décomposer beaucoup plus grand, je baisse le 6 de la seconde tranche, lequel avec le 7 résidu de la premiere à gauche fait 76 ; puis je prens 12 triple du quarré du premier chiffre trouvé 2, j’écris ce nombre 12 sous 76 ; & je dis, en 76 combien de fois 12, il y est 6 pour 72, & reste 4, lequel avec les 25 qui restent de la seconde tranche, fait 425, sur lesquels je dois tirer le triple du premier chiffre 2 dixaines, c’est-à-dire 60 multiplié par le quarré 36 du second chiffre trouvé, ou chiffre éprouvable 6, dont le produit 2160 ne se peut tirer du reste 425, sans parler du cube 216 du même chiffre 6 ; cube qui devroit encore être contenu dans le reste 425.
| 15 | - | 625 |
|
||
| 7 | 6 | ||||
| 6 | 0 | ||||
| 1 | 6 | ||||
Je vois donc que le chiffre à éprouver 6 que j’ai trouvé pour second chiffre de la racine totale, & que j’avois mis à part, ne convient en aucune sorte. J’éprouve donc le chiffre 5 ; & pour cela je dis 5×12 font 60, 60 tirés de 76, reste 16, lesquels avec le reste 25 de la second tranche font 1625
| 15 | - | 625 |
|
25 | |
| 7 | 6 | ||||
| 6 | 0 | ||||
| 1 | 6 - | 25 | |||
| 1 | 5 | 00 | |||
| 1 | 25 | ||||
Je forme à présent le triple du premier chiffre 2 dixaines, c’est-à-dire 60 multiplié par le quarré 25 du second chiffre 5, je tire le produit 1500 de 1625, après quoi reste 125 ; ce qui fait justement le cube des unités 5, que je dois encore tirer.
Je vois par-là que la racine cubique du nombre 15625 est 25 sans reste, & qu’ainsi je puis poser 5 en forme de quotient pour second chiffre de la racine totale.
Pour derniere preuve je prends le cube de 25 ; &
