d’ordonnées à AE, elles exprimeront chacune la distance où la bombe ira tomber, tirée sous l’angle d’inclinaison formé par l’horisontale AX, & par les lignes de projection menées de A aux différens points ou aux ordonnées, rencontrant la demi-circonférence AfFE.
Il résulte de cette considération (Planc. VIII. n°. 2. fig. 1 & 4.), 1°. que le rayon CL étant la plus grande de ces ordonnées, exprime la plus grande distance AM où la bombe peut être chassée par la charge du mortier ; comme l’on a cette amplitude lorsque la ligne de projection est AL qui donne l’angle LAM de 45 degrés, puisque sa mesure est la moitié de l’arc AffL de 90 degrés, il s’ensuit que pour avoir la plus grande distance où la bombe peut aller, il faut que l’angle de projection soit de 45 degrés.
2°. Que comme les ordonnées également distantes du rayon CL perpendiculaire sur AE sont égales, les inclinaisons Af, AF également au-dessus & au-dessous de 45 degrés, donnent des amplitudes égales.
Ainsi l’angle de projection étant de 30 degrés ou de 60, la bombe ira à la même distance, parce qu’ils different également de 45 degrés.
3°. Comme les ordonnées df, df, sont les sinus des arcs Af, Af, & que les angles f A G, f A G ont pour mesure la moitié de ces arcs, les portées AG, AG égales aux ordonnées df, df sont entr’elles comme les sinus des arcs Af, Af, ou ce qui est la même chose, comme les sinus des angles doubles de l’inclinaison du mortier.
Ainsi, lorsque l’angle d’inclinaison du mortier est de 15 dégrés, l’arc Af est à 30 ; mais comme le sinus de cet arc est la moitié du rayon, la portée de la bombe tirée sous l’angle de 15 degrés, est la moitié de celle qu’on a sous l’angle de 45 degrés.
Si l’on veut connoître la plus grande hauteur à laquelle la bombe s’éleve sur l’horisontal AX (fig. 1. Planc. VIII. n°. 2.), il faut du point I milieu de AG, élever sur cette ligne la perpendiculaire IR, prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre la ligne de projection AF. On suppose qu’elle le fait en R. Si l’on coupe ensuite IR en deux également en K, ce point sera celui de la plus grande élévation de la bombe, & par conséquent IK sera la hauteur demandée.
Pour le démontrer, considérez que IR coupant AG en deux également, coupe de même AF en R, & que comme IR est la moitié de la ligne de chûte FG, IK moitié de IR est le quart de FG. Or le tems que la bombe emploie à parcourir AF par son mouvement de projection, est double de celui de AR ; mais les espaces que la pesanteur lui fait parcourir, sont entr’eux comme les quarrés des tems ; donc la ligne de chûte FG est quadruple de RK ou IK ; donc IK exprime la plus grande élévation de la bombe sur l’horisontale AX.
Les principes précédens suffisent pour la résolution des différens problèmes qui concernent le jet des bombes, lorsque le plan où elles doivent tomber est de niveau avec la batterie. On peut aussi les appliquer aux plans élevés au-dessus de l’horison, ou inclinés au-dessous, mais d’une maniere moins générale, parce que dans ces deux derniers cas les portées ne sont point entr’elles comme les sinus des angles doubles de l’inclinaison du mortier. Nous ferons voir la maniere de faire cette application dans les problèmes suivans ; mais auparavant nous allons donner le moyen de trouver l’angle de projection qui donne la plus grande portée de la bombe, soit que le plan sur lequel elle doit tomber soit élevé sur l’horison, ou incliné au-dessous.
Soient pour cet effet les figures 2 & 3. Planc. VIII.
n°. 2. Nous supposerons dans la premiere que le plan AY sur lequel la bombe doit tomber, est élevé sur l’horisontale AX de 20 degrés, & dans la seconde, que AZ est au-dessous, de la même quantité.
Cela posé, l’arc dont AE est la corde, sera de 40 degrés plus petit que la demi-circonférence ; car l’angle NAE est égal à GAX formé par le plan incliné AY, & l’horisontale AX : or EAN a pour mesure la moitié de l’arc NE ; mais cette moitié étant de 20 degrés, par la supposition le double EN doit en avoir 40. Si l’on ôte ce nombre de 180 degrés, valeur de la demi-circonférence, il restera 140 degrés pour l’arc ALE, dont AE est la corde.
La perpendiculaire CL qui coupe la corde EA en deux également, coupe de la même maniere l’arc ALE ; c’est pourquoi dans cet exemple l’angle LAG de la plus grande portée a pour mesure le quart de 140 degrés, c’est-à-dire 35 degrés.
Il est évident que les angles également au-dessus & au-dessous de cet angle, donneront les mêmes portées, ainsi que ceux qui different également de 45 degrés, lorsque le plan sur lequel la bombe doit tomber, est horisontal ou de niveau avec la batterie.
Si le plan A Z, fig. 3, est au-dessous de l’horisontale AX de 20 degrés, l’arc ALNE en aura 180 plus 40, c’est à-dire 220 ; le quart de ce nombre qui est 55, donnera dans cet exemple l’angle de projection de la plus grande portée de la bombe sur AZ.
Il est aisé de tirer de-là une regle générale pour avoir l’angle de la plus grande portée de la bombe sur un plan élevé sur l’horison ou incliné au-dessous d’une quantité connue.
Dans le premier cas, il faut ôter de 180 degrés le double de l’angle de l’élévation du plan, & prendre le quart du reste : dans le second, il faut ajoûter à 180 degrés le double de l’inclinaison du plan, & prendre également le quart de la somme qui en résulte ; ou bien il faut dans le premier cas, ôter de 45 degrés la moitié de l’angle de l’élévation du plan, & ajoûter dans le second à 45 degrés la moitié de l’inclinaison du plan sous l’horison.
Problèmes. I. Ayant tiré une bombe sous un angle de projection pris à volonté, & connoissant la distance où elle aura été tomber sur un plan horisontal, trouver la force du jet.
Soit (fig. 4. Pl. VIII. n°. 2.) l’angle de projection FAY, & G le point où la bombe aura tombé sur le plan horisontal AY.
Comme on suppose que AG est connue, on trouvera par la Trigonométrie FG & AF, cherchant ensuite une troisieme proportionnelle à FG & AF, on aura la force du jet AF.
Si le plan est incliné au-dessus ou au-dessous de l’horison d’une quantité connue GAX, (fig. 5.) on connoîtra dans le triangle FAG, l’angle AGF, qui est égal à GAP, plus APG, l’angle de projection FAG, & le côté AG ; c’est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance des deux autres côtés AF & FG.
Si le plan est incliné au-dessous de l’horison, (fig. 6.) on connoîtra l’angle d’inclinaison XAZ, & par conséquent AGP, qui en est le complément ; l’angle PAF formé par l’horisontale AX, & la ligne de projection AF est aussi connue. Donc GAF qui est égal à GAP, plus PAF, le sera également ; or comme le côté AG est supposé connu, on connoît dans le triangle GAF un côté & les angles ; c’est pourquoi on peut par la Trigonométrie venir à la connoissance des deux autres côtés GF & AF.
Les lignes de chûte & de projection, (fig. 5. & 6.) étant connues, on leur cherchera une troisieme proportionnelle, qui sera la force du jet EA.
