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chance en commençant est $\scriptstyle {\frac {a}{a+b}}={\frac {a}{n}}$. Soustrayant $\scriptstyle {\frac {a}{n}}$ de 1 ; la valeur des chances restantes sera $\scriptstyle 1-{\frac {a}{n}}={\frac {n-a}{n}}={\frac {b}{n}}$.

2°. B a pour amener une balle blanche les cas a ; & les cas $\scriptstyle b-1$ pour en amener une noire ; mais c’est à A à commencer de jouer, & il est incertain s’il gagnera ou ne gagnera pas l’enjeu ; ainsi l’enjeu relativement à B n’est pas 1, mais seulement $\scriptstyle {\frac {b}{n}}$; ainsi donc sa chance, en qualité de second joueur est $\scriptstyle {\frac {a}{a+b-1}}\times {\frac {b}{n}}={\frac {ab}{n\times {n-1}}}$. Soustrayez $\scriptstyle {\frac {ab}{n\times {n-1}}}$ de $\scriptstyle {\frac {b}{n}}$, & la valeur du reste des chances sera $\scriptstyle {\frac {nb-b-ab}{n\times -1}}={\frac {b\times {\overline {b-1}}}{n\times n-1}}$.

3°. C a pour amener une balle blanche les cas a ; & les cas $\scriptstyle b-2$ pour en amener une noire ; ainsi sa chance en qualité de troisieme joueur, est $\scriptstyle {\frac {a\times b\times {\overline {b-1}}}{a\times {n-1}\times {\overline {n-2}}}}$.

4°. En raisonnant de la même maniere, A a pour amener une balle blanche les cas a, & pour en amener une noire les cas $\scriptstyle b-3$ ; ainsi comme jouant un quatrieme coup, après les trois premiers coups joués, sa chance sera $\scriptstyle {\frac {a\times b\times {\overline {b-1}}\times {\overline {b-2}}}{a\times {n-1}\times {\overline {n-2}}\times {\overline {n-3}}}}$ ; & ainsi de suite pour les autres joueurs.

Ecrivez donc la série $\scriptstyle {\frac {a}{n}}+{\frac {b}{n-1}}P+{\frac {b-1}{n-2}}Q+{\frac {b-2}{n-3}}R+{\frac {b-3}{n-4}}S$, où les quantités P, Q, R, S dénotent les termes ou quantités précédentes, avec leurs caracteres. Prenez autant de termes de la série qu’il y a d’unités dans $\scriptstyle b+1$ ; car il ne peut pas y avoir plus de tours au jeu qu’il y a d’unités dans b + 1 ; & la somme de tous les troisiemes termes, sautant les deux termes intermédiaires, en commençant par $\scriptstyle {\frac {a}{n}}$, sera toute la chance de A ; pareillement la somme de tous les troisiemes termes, en commençant par $\scriptstyle {\frac {b}{n-1}}P$, sera toute la chance de B, & tous les troisiemes termes en commençant par $\scriptstyle {\frac {k-1}{n-2}}Q$, sera la chance de C.

En faisant a = 4, b = 8, n = 12 ; la série générale se transformera dans la suivante $\scriptstyle {\frac {1}{12}}+{\frac {8}{11}}P+{\frac {7}{10}}Q+{\frac {6}{9}}R+5{\frac {5}{8}}S+{\frac {1}{7}}T$, $\scriptstyle +{\frac {3}{6}}V+{\frac {2}{5}}X+{\frac {1}{4}}Y$. Ou dans cette autre, en multipliant tous les termes par quelque nombre propre à ôter les fractions, comme ici par $\scriptstyle 495$, $\scriptstyle 165+120+84+56+35+20+10+4+1$.

Donc	la chance de A sera 165 + 56 + 10 = 231,
	la chance de B sera 120 + 35 + 4 = 159,
	la chance de C sera 84 + 20 + 1 = 105.

Ainsi les chances de ces joueurs A, B, C seront dans le rapport des nombres 231, 159, 105 ou 77, 53, 35.

A & B ont douze jettons, quatre blancs & huit noirs ; A parie contre B qu’en en prenant sept les yeux fermés, il y en aura trois blancs. Quel est le rapport de leurs chances ?

1°. Cherchez combien de fois on peut prendre diversement sept jettons dans douze ; & par le calcul des combinaisons vous trouverez 792. $\scriptstyle {\frac {12}{1}}\times {\frac {11}{2}}\times {\frac {10}{3}}\times {\frac {9}{4}}\times {\frac {8}{5}}\times {\frac {7}{6}}\times {\frac {6}{7}}=792$.

2°. Séparez trois jettons blancs, & cherchez toutes les manieres dont quatre des huit noirs peuvent se combiner avec eux ; vous en trouverez 70.
$\scriptstyle {\frac {8}{1}}\times {\frac {7}{2}}\times {\frac {6}{3}}\times {\frac {5}{4}}=70$.

Et puisqu’il y a là quatre cas où trois jettons peuvent être tirés de quatre, multipliez 70 par 4 ; &

vous trouverez 280 pour les cas où trois blancs peuvent venir avec quatre noirs.

3°. Par la loi générale des jeux, celui-là est le gagnant qui amene le plutôt l’évenement convenu ; à moins que la condition contraire n’ait été formellement exprimée. Ainsi donc si A tire quatre jettons blancs avec trois noirs, il a gagné. Séparez quatre jettons blancs, & cherchez toutes les manieres dont trois noirs de huit peuvent se combiner avec quatre blancs, & vous trouverez 56. $\scriptstyle {\frac {8}{1}}\times {\frac {7}{2}}\times {\frac {6}{3}}=56$. Ainsi il y a 280 + 56 cas = 336 qui sont gagner A ; ce qui ôté du nombre de tous les cas 792, il en reste 456 qui le font perdre. Ainsi le rapport de la chance de A à la chance de B, est comme 336 à 456, ou 14 à 19.

Dans les problèmes suivans, pour éviter la prolixité, nous ne donnerons point l’analyse, mais seulement son résultat. Cela suffira pour faire présumer les avantages & les desavantages dans les jeux, gageures, hasards de la même nature. Un bon esprit fera de lui-même ces sortes d’estimation approchée, dont on peut se contenter dans presque toutes les circonstances de la vie où elles sont de quelqu’importance.

A & B jouent avec deux dés, à condition que si A amene six, il aura gagné, & B s’il amene sept. A jouera le premier ; mais pour compenser ce desavantage, B jouera deux coups de suite ; & cela jusqu’à ce que l’un ou l’autre ait amené le nombre qui finit la partie. Si l’on cherche le rapport de la chance de A à la chance de B, on le trouvera de 10355 à 12276.

Si un nombre de joueurs A, B, C, D, E, &c. tous d’égale force, déposent chacun une piece, & jouent à condition que deux d’entre eux A & B commençant à jouer, celui des deux qui perdra cédera la place au joueur C ; celui des deux qui perdra cédera la place au joueur D, jusqu’à ce qu’un de ces joueurs vainqueur de tous les autres, tire les enjeux ou la mise. On demande le rapport des chances de tous ces joueurs. Selon la solution de M. Bernoulli, le nombre des joueurs étant $\scriptstyle n+1$, les chances des deux joueurs qui se suivent l’un l’autre, sont comme $\scriptstyle 1+2^{n}$ à $\scriptstyle 2^{n}$, & partant les chances de tous les joueurs A, B, C, D, E, &c. selon la proportion géométrique $\scriptstyle 1+2^{n}:2^{n}::A.c::c.d::d.e$, &c. Cela posé, il n’est pas difficile de déterminer les chances de deux joueurs quelconques, ou avant que de commencer, ou quand le jeu est engagé.

Par exemple, sont trois joueurs A, B, C ; alors $\scriptstyle n=2$, & $\scriptstyle 1=2^{n}:2^{n}::5.4::a.c$. c’est-à-dire que leurs chances ou espérances de gagner avant que A ait gagné B, ou B, C, sont comme 5, 5, 4, ou sont $\scriptstyle {\frac {5}{14}}$, $\scriptstyle {\frac {5}{14}}$, $\scriptstyle {\frac {4}{14}}$ ; car toutes ensemble doivent faire 1. Lorsque A aura gagné B, les chances seront comme $\scriptstyle {\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{7}}=1$.

S’il y a quatre joueurs A, B, C, D, leurs chances ou attentes seront en commençant comme 81, 81, 72, 64 ; & lorsque A a gagné B, les chances ou attentes de B, D, C, A, comme 25, 32, 36, 56 ; & lorsque A a gagné B & C, les chances ou attentes de C, D, B, A, comme 16, 18, 28, 87.

A, B, C, trois joueurs d’égale force, mettent une piece, & jouent à condition que deux commenceront, & que celui qui perdra sortira, mais en sortant ajoutera une somme convenue à la mise totale ; & ainsi de suite de tous ceux qui sortiront, jusqu’à ce qu’il y en ait un qui batte les deux autres, & qui tire tout. On demande si la chance de A & de B est meilleure ou plus mauvaise que celle de C.

Si la somme que chaque joueur qui sort ajoûte à la masse, est à la premiere mise de chacun, comme de 7 à 6, les chances des trois joueurs sont égales. Si le rapport de la somme ajoûtée par le sortant à la masse, est à la premiere mise en moindre rap-