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au point D pour une unité de poids L, placé dans le plateau de la balance ; on auroit, si le levier étoit sans pesanteur, P × PD = L × AD faisant PD = a & AD = b ; il s’ensuit P a = L b, donc $\mathrm {L=P} {\tfrac {a}{b}}.$ Si l’on met dans le bassin un poids 2 L, & que l’on fasse DE = x, les distances deviendront PE = a + x & AE = b – x, d’où $2\mathrm {L=P} {\tfrac {a+x}{b-x}}$ ; mais $2\mathrm {L=P} 2{\tfrac {a}{b}}.$ Ainsi $2{\tfrac {a}{b}}={\tfrac {a+x}{b-x}},$ $2ab-2ax=ab-ba$ & $2ab-ab=2ax+bx,$ d’où $ab=\left(2a+b\right)x$ & $x={\tfrac {ab}{2a+b}}.$ Si l’on met un poids 3 L dans le bassin, & que l’on fasse $\mathrm {DF} =x^{\prime }$ : F étant le point du centre de suspension pour que l’équilibre ait lieu, on aura $3\mathrm {L=P} {\tfrac {a+x^{\prime }}{b-x^{\prime }}}$ ; ${\tfrac {a+x^{\prime }}{b-x^{\prime }}}=3{\tfrac {a}{b}}$ & $x^{\prime }={\tfrac {2ab}{3a+b}}.$ Ainsi la loi d’écartement sera ${\tfrac {ab}{2a+b}},\;{\tfrac {2ab}{3a+b}}\cdots {\tfrac {nab}{(n+1)(a+b)}}\cdots$ pour les poids L, 2 L… n L.

Mais nous avons considéré le levier sans pesanteur, & le centre de gravité des deux poids qui se font équilibre, l’un au centte P & l’autre au point A ; cependant si, comme cela a lieu réellement, le levier a une pesanteur, le centre de gravité des deux points changera de position en même temps que le centre de suspension & les distances $x,x^{\prime },x^{\prime \prime },\cdots x^{(n-1)}$ seront affectés de ce changementde position ; ce qui augmentera la difficulté de la solution : aussi les personnes qui voudraient construire ces sortes de balances, parviendront-elles beaucoup plus facilement à tracer les divisions par tâtonnement, qu’en les déterminant par le calcul ; & ce tracé sera d’ailleurs beaucoup plus exact, à cause de la difficulté que l’on éprouve à construire un fléau de dimension parfaitement exact, & à donner à la matière une densité uniforme.

Balance romaine. Il paroît que cette espèce de balance, qui a déja été décrite au mot Balance, est une de plus anciennes que l’on ait connues en Europe. On voit, par le nom qu’elle porte, que les Romains en faisoient usage, & que c’est par eux qu’elle nous a été transmise.

Parmi toutes les balances que nous connoissons, c’est une de celles qui présente le plus de commodité & le moins d’embarras. Elle n’a qu’un seul poids, & peut peser des corps dont la pesanteur est très-différente ; seulement on ne peut avoir exactement que les poids indiqués par les divisions, & l’on est obligé de négliger les fractions qui existent entr’eux, ou de ne les obtenir que par approximation. Mais, comme nous allons le faire voir, Hassenfratz, Gattey & Paul de Genève ont donné des moyens simples & faciles de déterminer avec exactitude toutes les fractions existantes entre les poids indiqués sur l’échelle de graduation.

Bertholon, en parlant de la balance romaine, n’ayant pas indiqué la loi simple & facile de sa graduation, nous devons d’abord commencer par la faire connoître.

Soit C D, fig. 426, la distance du centre de suspension au centre d’attache du corps à peser = a, soit CH = b la distance du centre de suspension au poids P lorsque l’on veut peser l’unité de poids, & L = cette unité : on aura a L = b P & $\mathrm {L} ={\tfrac {b}{a}}\mathrm {P} .$ Si F, G, I, sont les points où doit être placé le poids P pour faire équilibre à des poids = 2 L, 3 L, 4 L & les distances $\mathrm {HF} =x^{\prime },\;\mathrm {HG} =x^{\prime \prime },\;\mathrm {HI} =x^{\prime \prime \prime },$ on aura $2\mathrm {L=P} {\tfrac {b+x^{\prime }}{a}}$, $3\mathrm {L=P} {\tfrac {b+x^{\prime \prime }}{a}}$, $4\mathrm {L=P} {\tfrac {b+x^{\prime \prime \prime }}{a}}$ & ${\tfrac {b+x}{a}},\;{\tfrac {b+x^{\prime \prime }}{a}},\;{\tfrac {b+x^{\prime \prime \prime }}{a}}={\tfrac {2b}{a}},\;{\tfrac {3b}{a}},\;{\tfrac {4b}{a}},$ de-là $x=b,\;x^{\prime \prime }=2b,x^{\prime \prime \prime }=3b\cdots \&\;x^{n}=nb$ : donc la division doit être en parties égales.

Mais ici nous avons supposé le levier sans pesanteur. Il est facile de démontrer que la pesanteur du levier ne change rien à la loi de la graduation, parce que le centre de suspension restant le même, les deux parties correspondent toujours aux mêmes poids, & leur centre de gravité n’éprouve aucune variation.

En effet, soit a = la longueur de la petite partie CD du levier ; L = le poids pris pour unité ; n = le nombre de fois que cette unité est employée ; P le poids mobile ; x = la distance où le poids doit être du centre de suspension pour faire équilibre ; Π = la pesanteur de la matière ; A = la longueur du grand bras du levier, on aura $x={\tfrac {n\mathrm {Q} a+{\tfrac {\Pi a^{2}}{2}}-{\tfrac {\Pi \mathrm {A} ^{2}}{2}}}{\mathrm {P} }}$ ; & comme, dans cette équation, il n’y a de variable que x & n, il s’ensuit que x, la distance où le poids doit être placé, est proportionnel au poids à peser.

Telles sont les formules qui peuvent être employées pour tracer les divisions du grand levier ; ou plus simplement, ayant déterminé les points où le poids P doit être placé pour faire équilibre au poids étalon & à un autre poids multiple du premier, on divise l’espace en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans le nombre de fois que le second poids contient le premier.

Quoique cette méthode soit extrêmement simple, les balanciers préfèrent d’employer le tâtonnement pour graduer leur levier, c’est-à-dire, de mettre des poids successifs dans le plateau de la balance, d’écarter le peson jusqu’à ce qu’il fasse équilibre, & de faire une encoche au point où ce peson doit être placé.

Hassenfratz a, pendant long-temps, indiqué dans