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$i$ d’un binôme (voyez ce mot), pris avec le signe $-$ : les exposants de $x$ descendent de deux unités dans les divers facteurs binômes successifs ; le coefficient $Q$ du terme moyen est le nombre constant qui termine le développement quand $i$ est pair ; et lorsque $i$ est impair, ce dernier terme est

$-Q(x+x^{-1})=-Qz.$

Il est bien facile maintenant de mettre dans l’équation ci-dessus, pour les binômes qui sont entre parenthèses, leurs valeurs, en commençant par les plus hautes puissances ; et on voit qu’en définitive la transformée sera en $z$ du degré $m$, moitié moindre que celui de la proposée.

Une fois $z$ connu, la première équation (3), ou $x+{\tfrac {1}{x}}=z$, donne $x^{2}-zx+1=0$, d’où

$x={\tfrac {1}{2}}z\pm {\sqrt {({\tfrac {1}{4}}z^{2}-1)}}(4).$

Ainsi, les diverses valeurs de $x$ seront obtenues.

Par exemple, soit proposée l’équation réciproque

$x^{7}-2x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-2x+1=0,$

on divise d’abord par $x+1$, et on a

$x^{6}-3x^{5}+2x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-3x+1=0.$

Cette équation réciproque de degré pair reçoit, par le calcul indiqué ci·dessus, la forme

$(x^{3}+x^{-3})-3(x^{2}+x^{-2})+2(x+x^{-1}-3=0.$

Introduisant pour ees divers binômes leurs valeurs en $z$ par les équations (3), on obtient

$z^{3}-3z^{2}-z+3=0.$

C’est l’équation du 3^e degré qu’il s’agit de résoudre, au lieu de celle du septième qu’on avait proposée. Dans le cas actuel, le calcul peut être achevé, car cette équation a pour racines (voyez Diviseurs commensurables) $z=1,-1$ et $+3$ : d’où l’on tire, par l’équation (4), les sept racines suivantes de l’équation proposée,

$x={\tfrac {\pm 1\pm {\sqrt {-3}}}{2}},x={\tfrac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}},x=-1.$

Francœur.

ABANDON. (Jurisprudence.) C’est le fait de quiconque abandonne tous ses biens à ses créanciers, pour qu’ils se payent de leurs propres mains, (Voy. Cession de biens). C’est encore l’état d’un enfant qui a été abandonné par ses parents. Quelquefois ce mot est synonyme de négligence, quand, par exemple, un individu laisse ses animaux à l’abandon sur le terrain d’autrui ; il l’est aussi de délaissement en matière d’hypothèque, en matière de bail. Enfin, il se prend encore pour désistement et signifie l’action de renoncer à une chose ou à un droit qui nous appartient.

ABAQUE. (Architecture.) Voy. Tailloir.

ABAQUE. (Mathématiques.) Voy, {{sc|Calculs)) (Machines à).

ABARES. (Histoire.) Voy, Avares.

ABATAGE DES CHEVAUX. Voy. Équarissage.

ABAT·FOIN. (Agriculture.) C’est une espèce de trappe qui, étant ouverte, établit une communication entre l’écurie et le grenier à foin, On doit disposer les abat·foin de manière qu’ils ne puissent donner passage aux exhalaisons des fumiers, qui altéreraient nécessairement les fourrages. Dubrunfaut.

ABATIS. (Fortification.) Dans l’origine des sociétés, l’homme trouva nécessairement sur le sol qu’il foulait, des pierres pour armes ; vaincu, il dut aller se réfugier dans les forêts, et la dépouille des arbres lui donna des armes offensives, telles que la massue, le javelot, l’arc et la flèche ; et des armes défensives dans l’écorce qui lui fournit un bouclier.

L’état de sociabilité avançant toujours, et la guerre étendant ses ravages, des peuplades entières se trouvèrent en présence ; le parti le plus faible se retrancha dans les forêts, et s’en fit un abri qui pût égaler les forces du part dominant et battant la campagne à découvert.

Ainsi furent faites les premières fortifications, avec des abatis d’arbres jonchés sur la terre, de manière à braver les insultes de l’attaquant et à soutenir ses efforts avec plus de chance et de sécurité.

Toutes les histoires de l’antiquité font mention de ce genre de fortification, qui sert encore dans nos armées.

En ne remontant pas au delà de l’époque historique, nous lisons dans Cornelius Nepos^[1] qu’à Marathon, Miltiade, adossant ses dix mille braves à une montagne, couvrant sa droite d’un abatis, appuyant sa gauche à un marais, déjoua les efforts de Datis et de ses cent mille Perses.

Camille, au rapport de Plutarque^[2], venant au secours de l’armée romaine assiégée par les Latins et les Volsques, trouva ces derniers fortement retranchés derrière des abatis, et ne dut la victoire qu’aux efforts redoublés des Romains.

Les Gaulois se mettaient souvent à couvert derrière des abatis, « Les Nerviens, dit César, de tout temps faibles en cavalerie, ont l’habitude, pour se garantir contre les incursions de la cavalerie et des maraudeurs voisins, de tailler et de courber de jeunes arbres, dont les branches entrelacées de ronces et d’épines forment une espèce de mur impénétrable à l’œil même^[3]. » Le conquérant fit lui·même usage de ce genre de fortification, dans son expédition contre les Morins et les Ménapiens. Son armée s’étant engagée trop avant dans les forêts qui, couvraient la plus grande partie du

1. Miltiad., c. 5
2. Camill., c. 34.
3. Guerres des Gaules, II, 17.