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ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν » ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΓ. Καὶὸ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ὕλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστὶν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ ἴση |
AΓ vero ipsi BΔ, et adhuc æqualis est BAΓ angulus ipsi BíAΓ, . Et quoniam æqualis est quidem ABΓ angulus ipsi BΓΔ, et ΓBΔ ipsi AΓB ; totus igitur ABΔ toti AΓΔ est æqualis ; ostensus est autem et BAΓ ipsi ΓAB æ£qualis ; |
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Τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπ. ἐναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. |
Ergo parallelegrammorum spatiorum Oppo- sita etlatera et anguli æqualia inter se sunt. |
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Λέγω δὲδλ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, κοινὴ. δὲ ἡΒΓ, δώο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΓΙ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν, ἐκατέρα ἐκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίΆ καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βαοει τῇ ΒΔ ἴση ἐση (0. 0 καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρί- γωνον τῷ ΒΔΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. |
Dico et diametrum ipsa bifariam secare. Quoniam enim æqualis est AB ipsi ΓΔ, com- munis autem BΓ, duæ igitur AB, BΓ duabus AΓ, ΓB æquales sunt, utraque utrique, et angulus ABΓ angulo BΓΔ æqualis est ; et basis igitur AΓ ipsi BΔ æqualis est ; et igitur triangulum ABΓ triangulo BΔΓ æquale est ; |
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Η ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ΑΓΔΒ παραλληλόώγραμμον. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Ergo BΓ diameter bifariam secat AΓAB paral- lelogrammum. Quod oportebat ostendere. |
BAT égal à l’angle Bar. Puisque l’angle ABr est égal à l’angle BrA, et l’angle ΓΒΔ égal à l’angle ΑΓΒ, l’angle total ABΔ est égal à l’angle total ArA. Mais on a démontré que l’angle BAT est égal à l’angle ΓΔΒ ;
Donc les côtés et les angles opposés des parallélogrammes sont égaux entr’eux.
Je dis de plus que la diagonale partage les parallélogrammes en deux parties égales. Car puisque AB est égal à TA, et que la droite Br est commune, les deux droites AB, BT sont égales aux droites AΓ, ΓB, chacune à chacune ; mais l’angle ABT est égal à l’angle Bra ; donc la base AT est égale à la base B4 (4) , et le triangle ABT égal au triangle Bar.
Donc la diagonale ΒΓ partage le parallélogramme AΓΔB en deux parties égales ; ce qu’il fallait démontrer.
