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ΔΑΓ. Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓΙ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΓΔΑ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ. Αλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΑ ἴσητ ἐστὶ τῇ ὑπο ΒΓΔ. Αλλ᾽ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΓΒἧΔ ἐστὶν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ΔΑ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἐστὶν ἴση. Αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ, Αλλ ἡ ΒΔ τῇ ΓΛΑ ὑπόκειται ἴση καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστὶν ἴση. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ3 τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστὶν ἴση. ο αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσὶ διπλασίουςϑ, Ιση δὲ καὶ7 ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ταῖς υπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΔΑΓ ἐστὶ διπλῆΠὴΟἨ Ιση δὲ ἠ ὑπὸ ΒΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ. καὶ ἐκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ ἐστὶ διπλῆ. |
qualis est BAΓ ipsi AAΓ, communis addaturΓgA. Totus igitur BΔA æqualis est duobus ΓAA, AAr. Sed ipsis ΓAΔ, AAΓ æqualis est exterior BΓΔ ; ipse igitur BÁAX æqualis est ipsi BΓΔ. Sed BΔíAl i psi EBΔ est æqualis, quoniam ct latus AA ips AB est æquale ; quare et ABA ipsi BΓΔ est æqua lis. Tres igitum BAA, ABA, BΓΔZ æquales inter se sunt. Et quoniam æqualis. est ABΓ angulus ips. BΓΔ, æquale est et latus BΔ lateri AΓ. Sed BΔ ipsi ΓA ponitur æqualis ; et AΓ igitur ipsi ΓA est æqualis ; quare et angulus ΓAA angulo AAΓ est æqualis ; ipsi igitur ΓAA, AAΓ ipsius AAΓ sunt dupli. Æqualis autem et BΓΔ ipsis ΓAA, AAΓ ; et BΓΔZ igitur ipsius AAΓ est duplus. Jqualis autem et BΓA utrique ipsorum BB |
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Ισοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συίσταται τὸ ΑΔΒ, ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει γωνιῶν δὲ- πσλασίονα τῆς λοιπῆς. Οσερ ἐδει ποιῆσαι. |
Isosceles igitur triangulum constitutum est A E habens utrumque ipsorum ad AB basim angu- lorum duplum reliqui. Quod oportebat facere. |
lʼangle ΔΑΓ placé dans le segment alierne du cercle (32. 3) . Puisque l’angle ΒΔΓ est égal à l’angle ΔΑΓ, ajoutons Vangle commun ΓΔΑ, l’angle entier ΒΔΑ sera égal aux deux angles ΓΔΑ, ΔΑγ. Mais l’angle extérieur ΒΓΔ est égal aux angles ΓΔΑ, ΔΑΓ (32- 1) ; donc l’angle ΒΔΑ est égal à lʼangle ΒΓΔ. Mais langie ΒΔΑ est égal à l’angle ΓΒΔ (5. 1) , puisque le côté ΔΑ est égal au côté ΑΒ ; donc l’angle ΔΒΑ est égal à angle BΓ ; . Donc les trois angles ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ sont égaux entr’eux. Et puisque l’angle ΔΒΓ est égal à l’angle ΒΓΔ, le côté B3 est égal au côté ΔδΓ (6. 1η. Mais le côté ΒΔ est supposé égal au côté ΓΑ ; donc le côté ΑΓ est égal au côté ΓΔ ; donc l’angle ΓΔΑ est égal à l’angle ΔΑΓ (5. 1) ; donc les angles ΓΔΑ, ΔΑΓ sont doubles de l’angle ΔΑΓ. Mais d’angle ΒΓΔ est égal aux angles ΓΔΑ, pAT (32. 1) ; donc l’angle BΓ ; est double de lʼangle ΔΑΓ. Mais l’angle ΒΓΔ est égal à chacun des angles BAA, ñBA ; donc chacun des angles BAA, Û+BA est double de l’angle ΒΑΔ.
Donc on a construit un triangle isocèle ΑΔΒ, ayant chacun des angles de la base ΒΔ double de l’angle restant. Ce qu’il fallait faire.
