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καὶ δϑιὰ τῶ᾽ Α, Β, Γ, Δ, Ε ἤχθωσαν τοῦ κύ- κλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΗ͂ καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεὀχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΚ, ΖΓ, ΖΛ, ΖΔ. |
B, Γ, Δ, E ducantur circulum contingentes HΘ, GΘ, EΔ, AM, MH ; et sumatur ABΓE circuli centrum Z, et jungantur ZB, ZK, ZΓ, ZA, ZΔ. |
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Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΚΛ εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κατὰ Τ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ κέντρου ὀπὶ τὴν κατὰ τὸ Τʼ ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ 2Γ. ἡ Ζὠὡ ἄρὰ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΛ’ ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν. 1 ἐκατέρα τῶν πρὸς τῷ Γ γωνιῶν. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσι. Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΙΚ γω- γία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΙ, ΓΚ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, α ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπο-τῆς ΖΚ3. ὥστε τὰ3 ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἐστὶν ἴσα, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς 2ΖΓΙ τῷ ἀπὸ τῆς Ζ2Β ἐστὶν ἴσον". λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ λοιπῷῶ 1 τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐστὶν ἴσον, ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΒΚὅ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ 2ΖΓ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΚ, δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΚ δυσὶ ταῖς Γά, Κ ἴσαι εἰσὶ, καὶ βάσις ἡ ΒΚ βάσει τῇ ΓΚ ἐστὶν ἴσης. γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΖΓ ἐστὶν ἴση, ἡ |
Et quoniam recta quidem KA Ccontingit ABΓAE circulum in Γ, ab ipso vero Z centro in contactum ad Γ ducta est ZΓ ; ergo ZΓ per- pendicularis est ad KA ; rectus igitur est uterque ipsorum ad Γ) angulorum. Propter eadem uti- que et ipsi ad B, ^ puncta anguli recti sunt. Et quoniam rectus est ZΓK angulus, ipsum igi- tur ex ZK æquale est ipsis ex ZΓ, Γk. Propter eadem utique et ipsis ex ZB, BÉ æquale est ip- sum ex ZÉ ; quare ipsa ex ZΓ, Γ « ipsis ex ZB, BK æqualia sunt, quorum ipsum ex ZΓ ipsi ZB est æquale ; reliquum igitur ex ΓK reliquo ex BK est æquale ; æqualis igitur ΓK ipsi BK. Et quoniam æqualis est ZB ipsi ZΓá, et communis ZE, duæ utique BZ, ZK duabus ΓZ, ZKk æquales sunt, et basis BK basi ΓK est æqualis ; angulus igitur quidem BZK angulo KZΓ est æZqualis, ipse vero BKZ ipsi ZKΓ est æÉqualis ; duplus igi- |
par les points Α, B, Γ, Δ, E, menons au cercle les tangentes Hθ, ΘΚ, KΛ, ΛM, MH (17. 3) ; prenons le centre Z du cercle ΑΒΓΔΕ, et joignons ZB, ΖΚ, ΖΓ, ZΛ, ΖΔ.
Puisque la droite ΚΛ touche le cercle ABΓΔE au point Γ, et que la droite ΖΓ est menée du centre Ζ au point de contact Γ, la droite zr est perpen- diculaire à ΚΛ (18. 3) ; donc chacun des angles en Γ est droit. Chacun des angles aux points B, ñ est droit, par la même raison. Et puisque l’angle ΖΓΚ est droit, le quarré de/la droite ΖΚ est égal aux quarrés des droites Ζγ, ΓΚ (47- 1) . Le quarré de la droite ΖΚ est égal aux quarrés des droites ZB, BK, par la même raison ; donc les quarrés des droites Zr, ΓΚ sont égaux aux quarrés des droites ZB, BK ; mais le quarré de ΖΓ est égal au quarré de zB ; donc le quarré res- tant de Γk est égal au quarré restant de BK ; donc ΓΚ est égal à B. Et puisque ΖΒ est égal à ΖΓΙ, et que la droite ΖΚ est commune, les deux droites ΒΖ, ΖΚ sont égales aux deux droites ΓΖ, Z ; mais la base ΒΚ est égale à la base rç ; donc l’angle ΒΖΚ
