250 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
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Ἑστὼ γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ ΒΕ ἴσον" λέγω ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ' ἴσον ἐστί. Κείσθω γὰρ τῷ 2 ἴσον τὸ Τκ. |
Sit enim primum HB.ipsi E equalis; dico et OA ipsi Z qualem esse. Ponator enia ipsi z æqualis FK. |
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Καὶ" ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ἑ καὶ τὸ ΓΘ τοῦ 2, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ 2’ ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλά- σιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ 2. Ισάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε, καὶ |
Et quoniam æque est multiplex AH ipsius acTO ipsius Z, equalis autem H3 quidem ipsi E, ipsa vero KT ipsi Z; zque igitur est zul- tiplex AB ipsius E ac KO ipsius Z. JEque autem ponitur multiplex ABipsius E ac PAip. |
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τὸ ΤΔ τοῦ 2’ -ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον πὸ ΚΘ τοῦ 2, καὶ τὸ ΓΔ τοῦ 2. Ἐπεὶ οὖν ἑκά- πτερὸν τῆς ΚΘ, ΤΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά- σιον" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ. Κοινὸν ἀφῃ- ρήσθω τὸ ΤΘ' λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν. Αλλὰ τῷ Δ τὸ ΚΓ ἐστὶν ἴσον" καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ 2 ἴσον ἐστίνί, Ὥστε εἶδ τὸ ἨΒ τῷ Ἑ ἴσον ἰστὶ, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ 1. |
sius Z ; oque igitur est multiplex KO ipsius Z ac TA ipsius Z. Et quoniam utraque ipsarum KO, PA ipsius Z eque est multiplex; equalis igitur est KO ipsi TA. Communis auferatur T6; reliqua igitur KP relique 6A squalis est Sed ipsi Z ipsa KT. est zqualis; et OA igitur ipsi Z zqualis est. Quare si HB ipsi E zqualis est , et OA equalis erit ipsi Z. |
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ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι κἂν πολλαπλάσιον ἢ τὸ ΗΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ 2. Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς. |
Similiter utique ostendemus et si multiples est HB ipsius E, multiplicem fore ct magnitadi- nem OA ipsius Z. Si igitur duc, etc. |
Premièrement , que H8 soit égal à E; je dis que ea est égal à z. Faisonsrk égal à 7.
Puisque AH est le même multiple de E que re l'est de z, que HB est égal à E, et kr égal az, 4B est le même multiple de E que Ke l’est de Z (2.5). Mais on a supposé que AB est le même multiple de E que rA l’est de z ; donc Ke estle même multiple de z que ra l’est de z. Et puisque les grandeurs ke, ra sont chacune le même multiple de z, Ke est égal à ra. Retranchons la partie commune re ; la grandeur restante kr sera égale à la grandeur restante @a. Mais kr est égal à z; donc ea est égal à z ; donc si HB est égal à E, @A sera égal à z.
Nous démontrerons semblablement, que si H8 est un multiple de E, la grandeur ea sera le même multiple de z. Donc, etc.
