408 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβ´. | PROPOSITIO XII. |
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Eαν ὦσιν οποσοιοὺν αριθμοι ἀναάλογον" ἔσται ὡς εἷς τῶν κγουμενων προς ἕνα τῶν επομωων, οὕτως ἅπαντες οἱ Ηγουμενοι προς ἅπαντας τοὺς ἐπουμένγους. |
Si sunt quotcunque numeri proportionales, erit ut. unus antecedentium ad unum conseσ Quentium, ita omnes antecedentes ad omn consequentes. |
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Ἑστωσαν οποσοίουν αριθμοι αἀνάλογον οἱ Α, B, Γ, Δ, ὡς0 ἃ πρὸς τον Β ουτῶς ΟΤ σρος τὸν Δʼ λέγω ὁτί ἐστὶν ὡς ΟΑ πρὸς τὸν Β ουτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ. |
Sint quotcunque numeri proportionales A, B, T ; , A, ut A ad B ita Tʼ ad A ; dico esse ut Α ad B ita ipsos A, Tʼ ad ipsos B, A. |
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Ἐπεὶ γὰρ ἐστίν ὡς ΟΑ πρὸς τὸόν Β ουτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δʼ ὁ ἀρὰ μερος ἐστιν ο Α τοὺῦ Β ἢ μερῇ, τὸ αὐτὸ μερος ἐστί Κκαὶ Ο Τ τοῦ Δ ἡ μερῆ" καὶ συναμφοτερος ἀρῶο Α. Τ συναμῷοτερου τοὺ Β, Δ τὸ αὐτὸ μερὸς ἐστιν ἡ τὰ αὐτὰ μερῆ. ἅπερο Α τοῦ Βʼ ἐστν ἄρα ὡς ο Α πρὸς τὸν Β ουτῶς οἱ Α. Γ πρὸς τοὺς Β. Δ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Quoniam enim est ut À ad B ita P ad 4 ; qus igitur pars est A ipsius B vel partes, eadem pars est eL ipsius A vel partes ; et uterque simul igitur A, T utriusque simul B, A ex dem pars est vel eædem partes, quæ A ipsius B ; est igitur ut À ad B ita ipsi A, T adipsos B, À. Quod oportebat ostendere. |
Si tant de nombres qu’on voudra sont proportionnels, un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents.
Soient A, B, Γ, Δ tant de nombres proportionnels qu’on voudra ; que A soit à B comme T est à A ; je dis que A est à B comme la somme des nombres 4, 1 est à la somme des nombres B, A.
Car, puisque A est à B comme T est à A, A est la même partie ou les mêmes parties de B, que T l’est de A (déf. 20. 7) ; donc A est la même partie ou les mêmes parties de B que r l’est de 4 ; donc la somme des nombres A, r est la même partie ou les mêmes parties de la somme des nombres B, 4, que À l’est de B (5 et 6. 7) ; donc A est à B comme la somme des nombres A, Test à la somme des nombres B, A (déf. 20. 7). Ce quʼil fallait démontrer.
