418 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
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ποιείτω. ὃ δὲ Β τὸῦν Τ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ σ“τοιείτῶ" λεγῶὼ 014 ισὸς ἐστὶν ν ὁ Ε τῷ Ζ. |
ipsum Tʼ multiplicans faciat ipsum Z ; dico equ. lem esse E ipsi Z. |
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Ο γοἶρ Α τὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ἡ ποιείτω. Ἐπεὶ οὖν δΑ τὸν Γ πολλαπλασιᾶσας τὸν Ἡ σε- σοίηκε. τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ἑ πε- ποίηκεν" ἀριθμὸς δὴ ὁ Α δύο οἷριθμοὖς τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Ἡ. Ἑ πεποίηκεν" ἔστιν ο’ι’ροι ὦς Τ ’πρὄς πὸν Δ οὗ’τος 6 Η ’πρὃς τὸν Ἑ. Αλλ ὡς2 0ΤὉ ’πρὄς τὸν Δ οὕτως ’πρὖς τὸν Β" καὶ ὡς ἆ, ΡαΒ δΑ ΄πρὄς τὸν Β οὗ’τωςὖ Η ’πρὃς τὸν Ἐ. Πάλιν. ἐπεὶ δΑ τὸντ πολλαπλασιοἷσας τὸν Ἡ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὖν καὶ ὃ Β τὸν Τ πολλαπλα- σιάσας τὸν Ζ πεποίηκε" δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α. Β ἀριθμὸν τινα τὸν Τ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η. Ζ σεποιήκασιν" ἐστιν ο’ι’ροι ὥς δὰ ʼπρὄς τὸν Β οὕτως 5 Η ’πρὃς τὸν Ζ. Αλλὰ μὴν καὶ ὡς δ ὰ πρὃς τὸν Β οὗτως 5 Η ’πρὃς τὸν Ἐ" καὶ ὧς οἴροι πρὸς ἑκάτερον τῶνί Ε, 2 τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἐσὸς ἀρα ἐστὶν ὁ Ἑ Τῳ Ζ. |
Ipse enim A ipsum T multiplicans ipsumH faciat. Et quoniam Aipsum T multiplicans ipsum H fecit, ipsum veroA multiplicans ipsum E fecit ; numerus utique A duos numeros Tʼ, A mulliplicans ipsos H, E fecit ; est igitur ut T ad A itaHadE, SedutTadAitaAadB ; etut igitur A ad B ita H ad E. Rursus, quoniam A ipsum F multiplicans ipsum H fecit, sed et B ipsumr multiplicans ipsum Z fecit ; duo utique numeri A, B numerum aliquem F multplicantes ipsos H, Zfecerunt ; est igitur ut A ad B ita H ad7, SedetutAadBitaHadE ; etutigiturHad ita H ad Z ; ipse H igitur ad utrumque ipsorum E, Z eamdem habet rationem ; equalis igitur est E ipsi Z. |
est à A ; que À multipliant À produise E, et que B multipliant r produise z ; je dis que E est égal à z.
Que À multipliant r produise H. Puisque 4 multipliant Tr produit H, et que A multipliant A produit E, le nombre A multipliant les deux nombres T, À produit H, E ; donc r est à A comme H est à E (17. 7). Mais Tr est à A comme 4 est à B ; donc A est à B comme H est à E. De plus, puisque 4 multipliant r produit E, et que B multipliant r produit z ; les deux nombres 4, 8 multipliant un nombre T produisent H, Z (18. 7). Donc A est à B comme H est à z. Mais A est à l
comme H est à E ; donc H est E comme H est Z ; donc H a la même raison avec chacun des nombres E, Z ; donc E est égal à Z.
